Un classico.

[nuoveolimpiadi1999]

Siano $a,b,c$ numeri reali positivi, tali che: $a+b+c \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.$

Dimostrare che:
\[a+b+c \geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}. \]

[Davide Di Vora]

Sviluppando i conti otteniamo
$$abc(a+b+c)^2\ge 3abc+2(a+b+c)$$
Notiamo che per il vincolo vale
$$abc(a+b+c)^2\ge abc(1/a+1/b+1/c)(a+b+c)=3abc+\sum_{cyc} a^2b+\sum_{cyc} ab^2$$
Applicando il lemma di Titu a $(a,b,c)$ e $(1/b, 1/c, 1/a)$ otteniamo
$$\sum_{cyc} a^2b \ge (a+b+c)^2/(1/a+1/b+1/c) \ge a+b+c$$
Analogamente otteniamo
$$\sum_{cyc} ab^2 \ge a+b+c$$
Quindi abbiamo
$$abc(a+b+c)^2\ge 3abc+\sum_{cyc} a^2b+\sum_{cyc} ab^2 \ge 3abc+2(a+b+c)$$
Da cui la tesi

[MATHia]

Occhio, se sviluppare i conti era moltiplicare per $(a+b+c)abc$, dovrebbe esserci un $2(a+b+c)$, non $2abc$

[Davide Di Vora]

Hai ragione ho sbagliato a scrivere

[nuoveolimpiadi1999]

Ottimo Davide!
Non conoscevo i il lemma di Titu. C'é per caso una dispensa,un video o qualcosa che lo spieghi?

[Lasker]

@nuoveolimpiadi: è un corollario di cauchy-schwarz

[nuoveolimpiadi1999]

Ah giusto non ci avevo pensato, grazie Lasker.