Dalla realtà alla realtà con ventidue piccoli caratteri

[Federico II]

$$f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2$$

[nuoveolimpiadi1999]

Si, ma puoi anche specificare dove é definita la funzione da trovare? (Cioé dominio e codominio)

[matematto]

Dalla realtà alla realtà [...]

[nuoveolimpiadi1999]

Hai ragione @matematto non ci avevo pensato, bella trovata...
allora ora ci penso un po'.

[nuoveolimpiadi1999]

Boh così a occhio direi che funzionano solo
$f(x)=x$ e
$f(x)=-x $

[Talete]

"A occhio" non mi sembra un'ottimo modo di risolvere una funzionale.

Non l'ho risolto io, però ho trovato una bellissima proprietà:

Testo nascosto:

Supponiamo per assurdo $f(0)\neq0$. Allora mandando $x\mapsto0$ e $z\mapsto y/f(x)$ si ottiene
\[f(0)=f(z)\]
per ogni $z$ reale, assurdo perché nessuna soluzione costante funziona. Allora $f(0)=0$.

Ponendo $y\mapsto0$ si ottiene
\[f(xf(x))=x^2\]
per ogni $x$ reale.

Ponendo $x\mapsto y$ si ottiene
\[f(yf(2y))=f(yf(y))+y^2=2y^2\]
per ogni $y$ reale.

Ponendo $x\mapsto 2y$ si ottiene
\[f(2yf(3y))=f(yf(2y))+4y^2=6y^2\]
per ogni $y$ reale.

Continuando così, detto $F_n$ l'$n$-esimo numero di Fibonacci, si dimostra che
\[f(F_nyf(F_{n+1}y))=F_nF_{n+1}y^2\]
per ogni $n$ intero e ogni $y$ reale.

Questa proprietà è bellissima anche se inutile, non c'è niente da dire.

[nuoveolimpiadi1999]

Hai ragione Talete! (infatti avevo fatto i calcoli e mi sembrava che quelle fossero tutte le soluzioni, cosí ho detto a occhio saranno solo quelle lì...)
Cmq scusa, ma non capisco cosa intendi con quella linietta che usi nella spiegazione "$\mapsto$"?

[Talete]

È come un uguale solo più formale (a volte si usano anche cose tipo $x\mapsto f(x)$ che non sono al massimo della formalità scritte $x=f(x)$).

[nuoveolimpiadi1999]

Cmq un altro modo semplice e veloce per dire che $f(0)=0$ é porre $x=y=0$ e si nota subito.

[Sirio]

Cmq un altro modo semplice e veloce per dire che $f(0)=0$ é porre $x=y=0$ e si nota subito.

No, così ottieni $f(0)=f(0)+0$

[nuoveolimpiadi1999]

Si giusto @Sirio ho letto velocemente e ho sbagliato e ho risolto invece questa qui (ecco il perche di quelle funzioni e di quel risultato che ho scritto)
$f(xf(y))+f(yf(x))=2xy$

[cip999]

Che carina...

Testo nascosto:

Se $f(0) \ne 0$, $P\left(0, \: \frac{z}{f(0)}\right)$ dà $f(z) = f(0) \; \forall \: z$, quindi $f$ costante, e si vede subito che non soddisfa. Dunque $f(0) = 0$. $P(x, \: 0)$, $P(x, \: -x)$ e $P(-x, \: x)$ danno rispettivamente $$\begin{align*} f(xf(x)) & = x^2 \tag{1} \\ f(-xf(x)) & = -x^2 \tag{2} \\ f(xf(-x)) & = -x^2 \tag{3} \end{align*}$$
Ora sia $a$ t.c. $f(a) = 0$. Dalla $(1)$ con $x = a$ abbiamo $a^2 = f(af(a)) = f(0) = 0 \implies a = 0$. Supponiamo poi che per $b \ne c$ si abbia $f(b) = f(c) \ne 0$; allora $P(b, \: c - b)$ dà $$\begin{align*} & \underbrace{f(bf(c))}_{= f(bf(b)) = b^2} = f((c - b)f(b)) + b^2 \\ \implies & f((c - b)f(b)) = 0 \\ \implies & (c - b)f(b) = 0 \\ \implies & b = c \end{align*}$$ Quindi $f$ è iniettiva. Confrontando $(2)$ e $(3)$ e usando l'iniettività otteniamo inoltre $$f(-xf(x)) = f(xf(-x)) \implies f(-x) = -f(x) \qquad \forall \: x \in \mathbb{R}$$ ($f$ dispari).
Da $P(y, \: x - y)$ e $P(y - x, \: x)$ abbiamo $$\begin{align*} f(yf(x)) & = f((x - y)f(y)) + y^2 \tag{4} \\ f((y - x)f(y)) & = f(xf(y - x)) + (x - y)^2 \tag{5} \end{align*}$$ (entrambe valide $\forall \: x, \: y \in \mathbb{R}$) La $(5)$ per la disparità è equivalente a $f((x - y)f(y)) = f(xf(x - y)) - (x - y)^2$. Sostituendo questa nella $(4)$ otteniamo $$f(yf(x)) = f(xf(x - y)) + 2xy - x^2$$ Ora sostituiamo $y \mapsto -y$ nell'ultima e usiamo di nuovo la disparità: $$\begin{align*} & f(-yf(x)) = f(xf(x + y)) - 2xy - x^2 \\ \implies & f(xf(x + y)) + f(yf(x)) = x^2 + 2xy \qquad \forall \: x, \: y \in \mathbb{R} \tag{6} \end{align*}$$
E ora sottraendo il testo dalla $(6)$ abbiamo finalmente $$2f(yf(x)) = 2xy \implies f(yf(x)) = xy = f(xf(y)) \implies yf(x) = xf(y) \implies f(x) = kx \qquad \forall \: x \in \mathbb{R}$$ E sostituendo si vede che gli unici $k$ che vanno bene sono $1$ e $-1$.

[Federico II]

Inutile dire che è buona

PS:

[cip999]

Aiuto

(Comunque anche le altre potevi risparmiartele...)

Testo nascosto:

Tranne

PS: Da dove viene?

[Federico II]

IMO Shortlist 2009, problema A7.
E da qui capisci anche il perché di quelle faccine