Problema sulla dimostrazione per induzione

[AntVenom]

Dimostra che la somma dei primi n quadrati è n(n +1)(2n +1)/6 per induzione.
Scusate so che è molto basilare ma preferire chiarire.

[fph]

Cosa hai provato a fare? Dove ti sei bloccato?

[AntVenom]

Ho visto che la propietà funziona quando sostituisco a n il valore di 1.
Allora ho sostituito "n" con "n+1".
E ho ottenuto [(n+1)(n+2)(2n+3)/6].
Adesso non riesco a uguagliare ciò che ottenuto con quella di partenza che ha solo "n".

[Talete]

Devi dimostrare che
\[\frac{n(n+1)(2n+1)}6 + (n+1)^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}6,\]
giusto? Se aggiungi alla somma dei primi $n$ quadrati il numero $(n+1)^2$, ottieni la somma dei primi $n+1$ quadrati, che tu vuoi sia quella roba a destra. Sei d'accordo? Da qui sono solo conti.

[AntVenom]

non ho capito perchè hai aggiunto (n+1)^2 così dal nulla.
Che ragionamento hai fatto?

[Gerald Lambeau]

non ho capito perchè hai aggiunto (n+1)^2 così dal nulla.
Che ragionamento hai fatto?

Direi che ha fatto il ragionamento per induzione... Forse non ti è chiaro bene come funziona, quindi lasciami spiegare tutto con calma.

Sia $P(n)$ una proposizione riguardo un certo intero positivo $n$ che vogliamo sia vera per ogni $n$ intero positivo. Vogliamo mostrarlo per induzione. Come si fa? In due semplicissimi passaggi.
Passo 1, o passo base: si dimostra che $P(1)$ è vera. Di solito basta sostituire $n=1$ e verificare che sia vera la proposizione, come hai fatto tu.
Passo 2, o passo induttivo: supponendo per vera $P(n)$, mostriamo che è vera $P(n+1)$, cioè $P(n) \Rightarrow P(n+1)$. Per come si fa rimando a dopo, usando l'esempio che ti serve.
Combinando i due passaggi si ha che $P(1) \Rightarrow P(2) \Rightarrow P(3) \Rightarrow \dots$ all'infinito, perché per ogni valore di $n$ abbiamo, con il passo 2, che la veridicità della proposizione implica anche che rimane vera con $n+1$. Siccome per il passo 1 abbiamo che $P(1)$ è vera, allora sono vere anche tutte le successive per le implicazione mostrate sopra, quindi è vera per ogni intero positivo e siamo felici.

Prendiamo il tuo esempio. $P(n)$ è $\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
Passo base: $P(1)$ è $\displaystyle 1^2=\frac{1(1+1)(2 \cdot 1+1)}{6}$, che è vera.
Passo induttivo: supponiamo vera $P(n)$, che è $\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Vogliamo vera $P(n+1)$, che è $\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\dots+n^2+(n+1)^2=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}$. Facciamo un po' di passaggi:
$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2+(n+1)^2=(1^2+2^2+3^2+\dots+n^2)+(n+1)^2$, ma ora abbiamo supposto per vera $P(n)$, quindi possiamo sostituire la somma dei primi $n$ quadrati e ottenere $\displaystyle (1^2+2^2+3^2+\dots+n^2)+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}=\\
\displaystyle \frac{(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))}{6}=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}=\frac{(n+1)((2n^2+4n)+(3n+6))}{6}=\frac{(n+1)(2n(n+2)+3(n+2))}{6}= \\
\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}$.
Concatenando tutte le uguaglianze abbiamo ottenuto che $\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\dots+n^2+(n+1)^2=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}$, che è $P(n+1)$, questo supponendo per vera $P(n)$, quindi abbiamo mostrato che $P(n) \Rightarrow P(n+1)$, perciò anche il passo induttivo è stato dimostrato.
Per quanto detto sopra, questo prova che $P(n)$ è vera per ogni $n$ intero positivo, dove $P(n)$ è l'uguaglianze che volevi dimostrare, quindi abbiamo finito.

[AntVenom]

Grazie mille sei stato chiarissimo,grazie ancora per la tua disponibilità.

[Gerald Lambeau]

Prego!

[AlexThirty]

Passo 2, o passo induttivo: supponendo per vera $P(n)$, mostriamo che è vera $P(n+1)$, cioè $P(n) \Rightarrow P(n+1)$. Per come si fa rimando a dopo, usando l'esempio che ti serve.
Combinando i due passaggi si ha che $P(1) \Rightarrow P(2) \Rightarrow P(3) \Rightarrow \dots$ all'infinito, perché per ogni valore di $n$ abbiamo, con il passo 2, che la veridicità della proposizione implica anche che rimane vera con $n+1$

Hey hey hey, chi mi assicura che questo sia vero? E se all'infinito succedesse qualcosa di diverso?

[Gerald Lambeau]

Passo 2, o passo induttivo: supponendo per vera $P(n)$, mostriamo che è vera $P(n+1)$, cioè $P(n) \Rightarrow P(n+1)$. Per come si fa rimando a dopo, usando l'esempio che ti serve.
Combinando i due passaggi si ha che $P(1) \Rightarrow P(2) \Rightarrow P(3) \Rightarrow \dots$ all'infinito, perché per ogni valore di $n$ abbiamo, con il passo 2, che la veridicità della proposizione implica anche che rimane vera con $n+1$

Hey hey hey, chi mi assicura che questo sia vero? E se all'infinito succedesse qualcosa di diverso?

Se ti dico in $\aleph_0$ passaggi ti va bene?
Spiegazione seria: ovviamente non infinito letteralmente, nel senso che non faremo mai $P(\aleph_0) \Rightarrow P(\aleph_0+1)$ ($\aleph_0$ o $\aleph_{quello \, che \, ti \, pare}$) né ovviamente possiamo fare infiniti passaggi con $n$ finito (è per questo che usiamo l'induzione), ad ogni "momento nel tempo nel quale proseguiamo virtualmente nel domino dell'induzione" (sempre se abbia senso questa frase) abbiamo fatto solo un numero finito di passi, ma dobbiamo continuare, quindi è una cosa non-stop, e boh basta, ho perso formalità appena ho iniziato questo discorso, probabilmente ho anche detto qualche castroneria (sempre se non ho detto SOLO castronerie).

[Sirio]

Delirio