Di una facilità imbarazzante (infatti è own)

[fph]

Per estenderla a tutti i razionali negativi si procede analogamente a come ho fatto per quelli positivi.

Uhm, non capisco proprio cosa tu intenda. Non vedo immediatamente una variante del ragionamento che hai fatto per i positivi che ti permette di conquistare immediatamente i negativi. In particolare la differenza grossa è che un numero positivo puoi scriverlo come quadrato (qualche volta), un negativo no.
Se leggessi quella frase in una dimostrazione da correggere, mi verrebbe il sospetto che non hai capito nulla e stai scrivendo qualcosa sperando di fregarci.

[Sirio]

Ovviamente non la scriverei in una dimostrazione, è solo che avevo poco tempo... Ora che ne ho di più provvedo:

Dunque, abbiamo che $f\left(-\dfrac {a^2}{b^2}\right)=-c\dfrac{a^2}{b^2}$. Prendiamo ora una frazione negativa $-\dfrac m n$ e la esprimiamo come $-\dfrac{mn}{n^2}$. Abbiamo, prendendo un intero quadrato $x^2$ sufficientemente grosso (maggiore di $mn$):
$f\left(-\frac{mn}{n^2}\right)=f\left(-\frac{x^2}{n^2}+\left(x^2-mn\right)\frac 1{n^2}\right)=f\left(-\frac{x^2}{n^2}+\left(x^2-mn-1\right)\frac 1{n^2}\right)+f\left(\frac 1 {n^2}\right)=\dots=f\left(-\frac{x^2}{n^2}\right)+\left(x^2-mn\right)f\left(\frac 1{n^2}\right)=-c\dfrac{x^2}{n^2}+c\dfrac{x^2-mn}{n^2}=c\dfrac{-mn}{n^2}$
Ecco, questo è quello che avevo in mente