Diseguaglianza (Titolo poco originale e nemmeno bello)

[Vinci]

Siano $a_1,a_2,\dots,a_k$ $k$ interi $distinti$. Dimostrare che $$(a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+\cdots+(a_{k-1}-a_k)^2+(a_k-a_1)^2\ge \frac{4(k-1)^2}{k}$$

[Luca Nalon]

Il caso [math]k=1 è banalmente vero, consideriamo d'ora in poi [math]k\ge2.

La funzione è simmetrica per traslazioni, inoltre possiamo supporre che la distanza tra termine minimo e massimo sia minima (ovvero $ k-1 $). Possiamo pertanto assumere [math]\{ a_1,a_2,...,a_k\}=\{1,2,...,k\}. Immaginiamo ora di disporre [math]a_1,a_2,...,a_k sui vertici di un [math]k-agono regolare.

Immaginando di percorrere in senso orario il [math]k-agono partendo da $ 1 $, si dovrà prima "salire" fino a $ k $ e poi da qui "scendere" per tornare a $ 1 $ chiudendo il poligono. Per la disuguaglianza triangolare si ha [math]\displaystyle \sum_{i=1}^{k} |a_{i}-a_{i+1}|\ge 2(k-1). Tale valore dovrà essere distribuito in $ k $ parti
(tutti i [math]|a_{i}-a_{i+1}| al variare di $ i $).

Per minimizzare $ \displaystyle \sum_{i=1}^{k} (a_{i}-a_{i+1})^2 $ gli [math]|a_{i}-a_{i+1}| dovranno essere il più equamente distribuiti possibile (per il caso di uguaglianza di AM-GM se vogliamo), ovvero [math]\displaystyle\{|a_{i}-a_{i+1}|:i\in\{1,2,...k\}\}=\{1,1,2,2,...,2\} tenendo conto che sono $ k $ e devono sommare a $ 2k-2 $.

Una tale configurazione esiste per ogni [math]k\ge2, infatti per $ k $ pari sarà del tipo $ (1,2,4,...,k-2,k,k-1,k-3,...,5,3) $ mentre per $ k $ dispari $ (1,3,5,...,k-2,k,k-1,k-3,...,4,2) $ e in tal caso $ \displaystyle \sum_{i=1}^{k} (a_{i}-a_{i+1})^2 = 4k-6 $.

Ma $ \displaystyle4k-6\ge\frac{4(k-1)^2}{k} $ quando $ \displaystyle2\ge\frac{4}{k} $ ovvero per $ k\ge2 $.

[Vinci]

Mi sembra giusta, solo non ho capito il fatto del $k$-agono regolare (inoltre la dimostrazione funziona anche senza quella parte)

[Luca Nalon]

giusto per rendere più chiaro quel passaggio che senza visualizzarlo mi sembrava difficile da cogliere

[Vinci]

Capito
Si può fare anche così, chiamata $S:=\sum_{i=1}^{k}|a_i-a_{i+1}|$ (con $a_{k+1}=a_1$), una volta essersi resi conto che $S\ge 2k-2$ come hai fatto tu, la tesi viene applicando Cauchy-Schwarz alle $k$-uple $\{1,1,\dots,1\}$ e $\{|a_1-a_2|,\dots,|a_k-a_1|\}$