Permutazioni sulle serie

[jordan]

Esiste una permutazione $\sigma: \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ tale che:

(i) Se $\sum_{n\ge 0} x_n$ è una serie convergente allora $\sum_{n\ge 0} x_{\sigma(n)}$ è una serie convergente

(ii) Esiste una serie $\sum_{n\ge 0} x_n$ non convergente tale che $\sum_{n\ge 0} x_{\sigma(n)}$ è una serie convergente

?

[RiccardoKelso]

Hint?

[dario2994]

Hint?

Prova a caratterizzare le permutazioni che rispettano la (i).

[jordan]

Hint 1:

Testo nascosto:

Si esiste una permutazione $\sigma$ di quel tipo

Hint 2:

Testo nascosto:

E' possibile che $|\sigma(n)-n|=O(1)$?

[RiccardoKelso]

La proposta (EDIT: sì, la sua inversa )

Testo nascosto:

Sia $n\in \mathbb{N}$ e $k$ tale che $2^{k-1}<n\leq 2^k$.
Se $n\leq 2^{k-1}+2^{k-2}$ allora definiamo $\sigma (n)=2^{k-1}+1+2(n-2^{k-1}-1)$.
Se invece $n> 2^{k-1}+2^{k-2}$ allora definiamo $\sigma (n)=2^{k}-2(2^k-n)$.
Manca la dimostrazione del fatto che sia effettivamente una permutazione.
Cerco di spiegare cosa voglio fare: restringiamoci a un intervallo $(2^{k-1},2^k]$. L'intenzione è di dividerlo a metà e di "mischiarle omogenamente", riordinando gli elementi dell'intervallo in modo che siano alternativamente appartenenti a una e all'altra metà.

La serie da riordinare

Testo nascosto:

Come prima, sia $n\in \mathbb{N}$ e $k$ tale che $2^{k-1}<n\leq 2^k$.
Se $n\leq 2^{k-1}+2^{k-2}$ allora definiamo $a_n=\frac{1}{2^{k-2}}$.
Se invece $n> 2^{k-1}+2^{k-2}$ allora definiamo $a_n=-\frac{1}{2^{k-2}}$.
Non scrivo ora la dimostrazione, ma (modulo errori) la successione $b_n=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_i$ oscilla, mentre $b_n=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{\sigma (i)}$ converge semplicemente.

Lascerà intatta ogni convergenza?

Testo nascosto:

Mi sembra sia così, ma, non essendo riuscito a seguire il consiglio di dario, l'unico modo che mi viene in mente per mostrarlo (anche se non sono sicuro ci riuscirei) è costituito da conti abbastanza brutti dopo aver detto che $c_n$ è il termine generale di una serie convergente se e solo se è vero che $\forall \epsilon >0\space \exists M| \forall i>M,j\in \mathbb{N},|\displaystyle \sum_{k=i}^{i+j} c_k |<\epsilon$ e sfruttando la struttura "partizionata" della permutazione, come anche il fatto che le somme finite (qualcuno le benedica) godano della proprietà commutativa. In modo da essere sicuro che eventuali problemi possano sorgere solo all'interno di un intervallo del tipo $(2^{k-1},2^k]$, oppure dentro due intervalli di quel tipo qualora $[i,i+j]$ sia così ampio; il concetto è che quando viene incluso un intero intervallo $(2^{k-1},2^k]$ in $[i,i+j]$ allora possiamo essere sicuri che questo non causerà problemi visto che la serie di partenza è convergente.

Solite domande: ha senso? Se sì, che altri modi ci sono per rispondere?

Prova a caratterizzare le permutazioni che rispettano la (i).

Ci ho provato e non per poco tempo, praticamente senza risultato. L'unica cosa che mi sembra di aver capito è che per poter far cambiare carattere a una serie convergente devo poter portare in un qualche intervallo un numero arbitrariamente grande di sequenze non adiacenti che prima si trovavano fuori dall'intervallo.

[RiccardoKelso]

Avendoci pensato per così tanto tempo pria di tirar fuori qualcosa, per impaziente curiosità ho cercato un po' alla buona qualcosa riguardo a questo argomento. Non ci ero andato infinitamente lontano (capitolo 4, prima caratterizzazione), ma temo non sarei mai arrivato a qualcosa di definitivo. Mi scuso in ogni caso per il messaggio vago e fumoso (e sbagliato) e ringrazio per lo spunto.