Strana successione

[Michael Pasquini]

Tutti i punti del cerchio di raggio $ R=d_2+d_3 $

[fph]

Tutti? Per esempio, con una stecca lunga 2 e una lunga 1 come fai ad arrivare a un punto a distanza 0.5 dall'origine?

[Nadal21]

Beh, e in realtà non è neanche neppure del tutto vero, bisogna pensarci su ancora un attimo. Ma prova a semplificare il problema il più possibile. Quali punti del piano si riesce a raggiungere con una stecca lunga $d_2$ e una stecca lunga $d_3$?

Mi pare si possano raggiungere tutti i punti della corona circolare compresa fra i cerchi di raggio $ R_1= d_2+d_3 $ e $ R_2=|d_2-d_3| $.

[fph]

Esatto. Riesci a dimostrarlo?

[Nadal21]

Io me lo sono spiegato in modo molto geometrico, forse un po’ rozzo, e non so se può essere considerata una “prova”, ma scrivo come ho ragionato.
Supponiamo senza perdita di generalità che $ d_2>d_3 $.
Se pongo l’origine degli assi nel punto d’inizio del segmento $ d_2 $, ho che i punti più distanti dall’origine che posso raggiungere sono quelli della circonferenza di raggio $d_2 + d_3$ e quelli più vicini sono quelli della circonferenza di raggio $d_2 – d_3$.
Se immagino che nel punto in cui finisce $d_2$ e inizia $d_3$ ci sia una cerniera, per la disuguaglianza triangolare posso raggiungere tutti i punti compresi fra $d_2 + d_3$ e $d_2 – d_3$.
Se faccio ruotare di un angolo $\theta$ il segmento $d_2$, questo è vero per $0 \leq \theta \leq 360$ e dunque posso raggiungere tutti i punti della corona circolare compresa fra i cerchi di raggio $d_2 + d_3$ e $d_2 – d_3$.

[fph]

OK, mi sembra una dimostrazione completa; se vuoi puoi scriverla così. Step 1: riesco a raggiungere un punto a distanza $d$ dall'origine per ogni $|d_2-d_3| \leq d \leq d_2+d_3$: dimostrazione: basta prendere il triangolo di lati $d,d_2,d_3$ (che esiste perché soddisfa le disuguaglianze triangolari) e disegnarlo con il vertice giusto in O. Step 2: riesco a raggiungere tutti i punti a distanza $d$ dall'origine: basta ruotare la figura precedente attorno ad O.

[Nadal21]

OK, mi sembra una dimostrazione completa; se vuoi puoi scriverla così. Step 1: riesco a raggiungere un punto a distanza $d$ dall'origine per ogni $|d_2-d_3| \leq d \leq d_2+d_3$: dimostrazione: basta prendere il triangolo di lati $d,d_2,d_3$ (che esiste perché soddisfa le disuguaglianze triangolari) e disegnarlo con il vertice giusto in O. Step 2: riesco a raggiungere tutti i punti a distanza $d$ dall'origine: basta ruotare la figura precedente attorno ad O.

OK. Scritta così è di sicuro più chiara rispetto a come l'avevo scritta io.
Però non riesco a capire come posso scrivere la dimostrazione, anche se concettualmente l'ho capita, per il caso di $n $ segmenti.

[fph]

Hai ragione che non è semplice da scrivere. Ora abbiamo tirato fuori più o meno tutte le idee che servivano, ma ora c'è da metterle insieme. Proviamo ad aggiungere un segmento; magari si riesce a dire qualcosa per induzione.

[Nadal21]

Mi scuso per il lungo intervallo silenzioso, ma gli impegni a scuola sono tanti

Se aggiungo un segmento, suppongo senza perdita di generalità, che $d_2>d_3>d_4$. Allora seguendo lo schema che hai usato per il caso precedente dovrei poter scrivere:
Step 1: riesco a raggiungere un punto a distanza $d$ dall'origine per ogni $|d_2-(d_3+d_4)| \leq d \leq d_2+(d_3+d_4)$: dimostrazione: basta prendere il triangolo di lati $d,d_2,(d_3+d_4)$ (che esiste perché soddisfa le disuguaglianze triangolari) e disegnarlo con il vertice giusto in O. Step 2: riesco a raggiungere tutti i punti a distanza $d$ dall'origine: basta ruotare la figura precedente attorno ad O.

Spero di non aver scritto stupidaggini.