Secondo problema

[Tilli]

Sia p(x) un polinomio di grado 1987 con la seguente proprietà : quando lo si divide per i binomi (x+ 3), (x+ 2), (x+ 1), (x−1), (x−2) e (x−3),
si ottengono come resti, rispettivamente, 1, 2, 3, 5, 6 e 1987.
Indichiamo con r(x) il polinomio che si ottiene come resto dividendo p(x) per il polinomio b(x) = (x + 3)(x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 2)(x − 3).
Qual è il termine noto di r(x)?
Qualcuno che mi aiuta con questo problema?

[Lasker]

Testo nascosto:

differenze finite

[Tilli]

Scusa ma non credo di avere capito

[Lasker]

1. La domanda del problema è $r(0):=t$.
2. Che grado ha $r(x)$?
3. Considera il polinomio $\Delta_1 r(x)=r(x+1)-r(x)$. Che grado ha? Sai dire quanto vale in alcuni punti? Ripeti $5$ volte questa operazione

[Tilli]

Bhe sicuramente delta r(x) ha grado = deg(r(x)) - 1 mentre r(x) ha grado minore di 6.
Però non capisco come posso usare i resti delle divisioni di p(x) per i vari binomi

[Fenu]

Propongo una soluzione un po' meno carina, lascio la possibilita' a Tilli di ragionare un pochino sulle differenze finite.

Testo nascosto:

Lavoriamo con un sistemone.
Sappiamo che $p(x)=b(x)\cdot q(x) + r(x)$(*), dove r(x) e' chiaramente di quinto grado, della forma $ax^5 + bx^4 + cx^3 +dx^2 + ex + f$ con eventuali $a, b, c, d, e, f$ nulli.
Usando Ruffini su $p(x)$ si ha $p(-3)=1$, $p(-2)=2$, $p(-1)=1$, $p(1)=5$, $p(2)=6$, $p(3)=1987$
Per definizione di $b(x)$ invece, su questi valori $b$ e' nullo.
Ora riesumando la scrittura (*) otteniamo il seguente sistema:
$$1=a(-3)^5+b(-3)^4+c(-3)^3+d(-3)^2+e(-3)+f$$
$$1987=a(3)^5+b(3)^4+c(3)^3+d(3)^2+e(3)+f$$
$$2=a(-2)^5+b(-2)^4+c(-2)^3+d(-2)^2+e(-2)+f$$
$$6=a(2)^5+b(2)^4+c(2)^3+d(2)^2+e(2)+f$$
$$3=a(-1)^5+b(-1)^4+c(-1)^3+d(-1)^2+e(-1)+f$$
$$5=a(1)^5+b(1)^4+c(1)^3+d(1)^2+e(1)+f$$
Sommando le equazioni a coppie (prima con seconda, terza con quarta, etc.) otteniamo un sistema equivalente di facile risoluzione che ci porta a dire $f=103$ sperando di non aver sbagliato i conti.

Inoltre

Testo nascosto:

Prova a pensare cio':
Prendi in considerazione il polinomio di secondo grado $A(x)= x^2 + x + 1$
Proviamo a calcolare A(x+1)-A(x)..
$$(x+1)^2 + (x+1) + 1 - (x^2 + x + 1) = x^2 + 2x +1 +x + 1 - x^2 - x - 1 = 2x$$
"Magicamente" il grado e' diminuito di uno. Probabilmente questo succede anche con il nostro $r(x)$
Se fai vedere che p(x+1) - p(x) ha grado strettamente minore a $deg(p)$ per qualsiasi $p$, ottieni che, detto $k=deg(p)$ allora la $k-$esima differenza e' costante. Prova a continuare da qua

[Lasker]

Però non capisco come posso usare i resti delle divisioni di p(x) per i vari binomi

Beh se scrivi $P(x)=(x-3)(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)Q(x)+R(x)$ vedi che il resto della divisione di $P(x)$ per $(x-3)$ è proprio $R(3)$ (dovresti conoscerlo come teorema di Ruffini, il resto della divisione di $P(x)$ per $x-\alpha$ è $P(\alpha)$ e $P(3)=R(3)$), quindi conosci $R$ (che è di quinto grado) in $6$ punti (cioè $-3,-2,-1,1,2,3$). Il metodo delle differenze dovrebbe farti risparmiare conti, è normalmente più veloce da eseguire se ti interessa $R$ valutato in un punto preciso piuttosto che il polinomio vero e proprio (e fa comodo avercelo presente quando si tratta con dei polinomi).

[Tilli]

Ok grazie ora ho capito, però potresti lo stesso scrivermi i calcoli con cui arrivi al risultato con il metodo delle differenze finite per favore?

[Lasker]

fai una tabella
1 2 3 t 5 6 1987
1 1 t-3 5-t 1 1981
0 t-4 8-2t t-4 1980
t-4 12-3t 3t-12 1984-t
16-4t 6t-24 1996-4t
10t-40 2020-10t
La prima riga contiene in ordine $r(-3), r(-2), r(-1), r(0), r(1), r(2), r(3)$, la seconda riga $\Delta_1 r(-3)$ (che sarebbe per definizione $r(-2)-r(-3)$), $\Delta_1 r(-2)$ eccetera.
Ogni riga il polinomio scende di un grado quindi l''ultima riga è un polinomio costante $\Delta_5r(x)$ valutato in $-3$ e $-2$ e i due valori sono quindi uguali da cui $10t-40=2020-10t$ che risolta da $t=103$