Numero minimo di lati di una spezzata.

[galli21]

Ho difficoltà nella risoluzione del seguente problema: siano dati i punti A(-1;0) e B(1:0) e si considerino le circonferenze di centro l'origine e di raggi rispettivamente 1 e r con r<1; trovare la spezzata compresa tra le due circonferenze col numero minimo di lati che congiunge il punto A col punto B.

[Lance]

a me viene $ n = [\frac{\pi}{\arccos(4r^2-1)}]+1 $ dove [] è la parte intera... prova a dimostrare che l'angolo maggiore lo "spazzi" se la spezzata è tangente al cerchio più piccolo

[galli21]

In base alla tua soluzione se r=1/2 n=3 mentre si può costruire facilmente una spezzata di 2 lati che congiunge i punti A e B.

[Lance]

scusami ho sbagliato i conti non è arccos(4r^2-1) ma arccos(2r^2-1)

[Lance]

Posto comunque la soluzione completa

Testo nascosto:

E' evidente che l'angolo maggiore lo si spazza quando la spezzata è tangente al cerchio più piccolo e entrambi gli estremi di ogni segmento appartengono al cerchio più grande. Allora, chiamando $ \theta $ l'angolo sotteso da un segmento si ha $ \cos\frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}} = r $ da cui $ \theta = \arccos(2r^2-1) $ ==> $ n = [\frac{\pi}{\theta}]+1 $ = $ [\frac{\pi}{\arccos(2r^2-1)}]+1 $

[galli21]

Ma se l'angolo misura 60° la spezzata è un trapezio con tre lati uguali mentre dalla formula risulta che la spezzata debba avere 4 lati.

[sg_gamma]

Io direi molto semplicemente che se $ \pi/\theta $ risulta un intero il +1 non è necessario: l'idea dovrebbe essere che se il rapporto ti restituisce anche 3,1 sono necessari 4 lati, ma se esce 4 ne servono comunque 4 esatti.

[matpro98]

E c'è un simbolo appropriato per questo concetto per dirlo

[sg_gamma]

Ossia la parte intera superiore (ceiling function): [math]\lceil x \rceil indica appunto il minimo intero tale da essere maggiore o uguale di x.

[Lance]

@sg_gamma: hai ragione, allora viene $ \lceil \frac{\pi}{arccos(2r^2-1)} \rceil $