Minimo da Tor vergata

[Tilli]

Si considerino tutte le liste di interi positivi $ a_1,a_2,....,a_n $, eventualmente anche uguali tra loro, e tali che $ a_1+a_2+....+a_n = 10000 $
Tra tutte le liste con tali proprietà si prendano solo quelle che rendono massimo il prodotto $ a_1\cdot{a_2}\cdot....\cdot{a_n} $.
Tra queste, qual è il minimo valore che può assumere $ n $?

[bananamaths]

Non so se come procedo è giusto e inoltre non so concludere ma provo comunque a scriverlo, ora per AM-GM abbiamo che
[math]\sqrt[n]{a_1\cdot a_2 \cdot .... a_n}\le \frac{a_1+a_2+....+a_n}{n}=\frac{10000}{n} Ora il massimo dei prodotti si ha soltanto quando
[math]\sqrt[n]{a_1\cdot a_2 \cdot .... a_n}=\frac{10000}{n} eleviamo alla n ad entambi i membri che sono positivi e otteniamo
[math]a_1\cdot a_2 \cdot .... a_n=(\frac{10000}{n})^n quindi [math]n deve essere divisore di [math]10000 qua ora mi blocco perchè non so trovare gli n e tra di essi il minimo.

[Tilli]

Mi sono bloccato allo stesso identico punto, dopo aver usato AM-GM

[bananamaths]

[bananamaths]

intanto [math]10000=2^4 \cdot 5^4 ... quindi... non saprei

[Tilli]

Comunque, guardando la soluzione, mi sono reso conto che l' n minimo non divide 10000

[bananamaths]

Ah ma allora... potresti postare la soluzione o dirmi il vaore della soluzione

[Tilli]

Si, anche se dubito possa aiutare chi vuole provare a risolvere il problema

Testo nascosto:

Testo nascosto:

Testo nascosto:

3333

[matpro98]

Provate ad esaminare i casi piccoli, senza partire subito da 10000. Potreste scoprire la strategia giusta per "spezzare" il 10000

[Drago96]

Ora il massimo dei prodotti si ha soltanto quando
[math]\sqrt[n]{a_1\cdot a_2 \cdot .... a_n}=\frac{10000}{n}

Il "problema" è che quando le tue variabili sono vincolate ad essere intere, non è detto che tu possa raggiungere i casi di uguaglianza nelle varie disuguaglianze.
E inoltre il punto dell'esercizio è un altro: sia $10000$ che $5000,5000$ hanno somma $10000$, però la seconda coppia ha un prodotto molto maggiore...

[Fenu]

Se necessario scriverò tutti i passaggi. Hint:

Testo nascosto:

Provo i casi piccoli

Testo nascosto:

Forse solo $a_i=2, 3$ e magari eventualmente $a_i=1$.

Testo nascosto:

Lo dimostro, aggiusto il tutto, ho finito.

[Tilli]

Potresti scrivere tutti i passaggi per favore @Fenu?

[scambret]

Testo nascosto:

Idea: se passo da una n-upla con un numero $a$ a una (n+1)-upla con tutti i numeri uguali tranne che gli ultimi due con $a/2$ e $a/2$ sto aumentando il prodotto

Testo nascosto:

Ma questo è vero sempre? E io sto lavorando con divisioni, mmmh...

Testo nascosto:

Se $a \geq 5$ meglio prendere $(2,a-2)$ per massimizzare il prodotto

Testo nascosto:

meglio prendere $(2,2,2)$ o $(3,3)$?

Come si finisce?

[Tilli]

Quindi alla fine come si conclude? Quali sono gli interi passaggi del problema?