Odio mettere i titoli ai messaggi

[Catraga]

Avevo letto il seguente problema irrisolto nel forum:
<BR>Dato un triangolo ABC, trovare il luogo dei punti P del piano, al variare del parametro k, che minimizzano la relazione: AP^k+BP^k+CP^k
<BR>Penso di aver torvato la risposta...
<BR>Dobbiamo studiare i minimi della funzione
<BR>f(k,x,y)=Sum[{i,1...3},[(x-ai)^2+(y-bi)^2]^k]
<BR>Ora, se assegnato un valore di k studiamo i minimi della funzione f(x,y), calcolando le derivate parziali, anche senza trovare il determinante Hessiano, abbiamo che:
<BR>D[f(x,y),x]=Sum[{i,1...3},k[2(x-ai)]^(k-1)]=0 per qualche x
<BR>Ma ciò non si verifica se k=3, infatti una somma di quadrati non può essere pari a zero, a meno che non siano zero in contemporanea tutti i suoi addendi, ma ciò è possibile solo se:
<BR>(x-ai)=0 per ogni i
<BR>Impossibile, pena la non triangolarità del triangolo, quindi esistono dei valori di k, infiniti, per cui la funzione non ha minimo.
<BR>Quindi il luogo geometrico è discontinuo.
<BR>Generalizzando la f(k,x,y) si ha che
<BR>Sum[{i,1..3},Fi(x,y)^k]
<BR>Una funzione così definita ha minimo, se nn ricordo male, quando sono uguali tutti gli Fi(x,y). Ciò significa che:
<BR>[(x-a2)^2+(y-b2)^2]=[(x-a2)^2+(y-b2)^2]=[(x-a3)^2+(y-b3)^2]
<BR>Ovvero il luogo dei punti equidistanti dai tre vertici, ovvero il centro della circonferenza circoscritta al triangolo.
<BR>Il luogo è un punto: il circumcentro del triangolo stesso.
<BR>Allora? Che ve ne pare? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

[pennywis3]

No, non ho letto tutto, ma deve essere sbagliato, perchè se k=2 il punto è il baricentro, che usualmente non coincide col circocentro

[pennywis3]

Ah, e se vogliamo essere pignoli per k=1 è il punto di fermat... che ancora.... no...
<BR>
<BR>It is a long way to tipperary
<BR>
<BR>~p3~ il puzzone

[pennywis3]

A sproposito, la funzione che tu chiami \"f(k,x,y)=Sum[{i,1...3},[(x-ai)^2+(y-bi)^2]^k] \" non è corretta , casomai dovresti scrivere f(k,x,y)=Sum[{i,1...3},[(x-ai)^2+(y-bi)^2]^(k/2)]
<BR>

[Catraga]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-09-13 09:22, pennywis3 wrote:
<BR>A sproposito, la funzione che tu chiami \"f(k,x,y)=Sum[{i,1...3},[(x-ai)^2+(y-bi)^2]^k] \" non è corretta , casomai dovresti scrivere f(k,x,y)=Sum[{i,1...3},[(x-ai)^2+(y-bi)^2]^(k/2)]
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>poichè k appartiene ad R, k/2 apparteiene ad R, essendo una variabile muta posso sostituire k=t=k/2, quindi la formula risulta essere comunque corretta.
<BR>Ora k non può essere naturale pena la non appartenenza alla classe c1 di tale funzione.