Quadrati perfetti

[Sypo12]

Ciao a tutti, sto cercando di trovare tutti gli interi [math] n per cui [math]3^n + 1 è un quadrato perfetto. Scusate per l'apparente banalità ma è da poco che mi affaccio all'allenamento (fino ad oggi me la sono cavata "ad intuito") e adesso vorrei imparare qualche cosa in più. Grazie mille in anticipo

[bananamaths]

Cominciamo a scrivre [math]3^n+1=q^2 ovvero [math](q+1)(q-1)=3^novvero sia [math](q+1) che [math](q-1) sono potenze di tre le uniche potenze di tre a distanza di due sono appunto [math]3 e [math]1 quindi l'unico intero e appunto 4.

[Sypo12]

L'esponente non può essere un numero pari, perchè così [math]3^n sarebbe un quadrato perfetto, al quale poi vai ad aggiungere 1. Il tuo ragionamento funziona per [math] 1 e [math]3, che sono rispettivamente [math]3^0 e [math]3^1, quindi come [math]n prendo [math]1. Siccome però questo problemino viene da una lezione sulle congruenze, mi aspettavo una soluzione che considerasse il fatto che, ad esempio, ogni quadrato è congruo a [math]0 o [math]1\; mod\; 4

[bananamaths]

L'esponente non può essere un numero pari, perchè così [math]3^n sarebbe un quadrato perfetto, al quale poi vai ad aggiungere 1. Il tuo ragionamento funziona per [math] 1 e [math]3, che sono rispettivamente [math]3^0 e [math]3^1, quindi come [math]n prendo [math]1. Siccome però questo problemino viene da una lezione sulle congruenze, mi aspettavo una soluzione che considerasse il fatto che, ad esempio, ogni quadrato è congruo a [math]0 o [math]1\; mod\; 4

Intendevo che l'unico intero che si puo scriver come [math]3^n+1 e che sia un quadrato perfetto e appunto [math]4

[Sypo12]

Sì sì, puntualizzavo sul fatto che però l'intero richiesto era l'esponente e non il quadrato. Grazie mille per la risposta