Disuguaglianza pesata tra medie

[Gerald Lambeau]

Dimostrare in generale la disuguaglianza pesata tra medie.
A scanso di equivoci: siano $\lambda_i$ ($1 \le i \le n$) reali positivi (anche non negativi, ma non cambia molto...) con somma $1$ e $p>q>0$ reali (se siete audaci provate $0 \not=p > q \not=0$ reali, ma non garantisco niente EDIT: nah, fatelo, se non ho sbagliato nulla è fattibile). Allora per ogni $n$-upla di reali positivi $x_i$ si ha che
$\displaystyle \left( \sum_{i=1}^n \lambda_ix_i^p \right)^{\frac{1}{p}} \ge \left( \sum_{i=1}^n \lambda_ix_i^q \right)^{\frac{1}{q}}$
.

[Markmilleru2]

Dimostrare in generale la disuguaglianza pesata tra medie.
A scanso di equivoci: siano $\lambda_i$($1 \le i \le n$) reali positivi (anche non negativi, ma non cambia molto...) con somma $1$ e $p>q>0$ reali (se siete audaci provate $0 \not=p > q \not=0$ reali, ma non garantisco niente EDIT: nah, fatelo, se non ho sbagliato nulla è fattibile). Allora per ogni $n$-upla di reali positivi $x_i$ si ha che
$\displaystyle \left( \sum_{i=1}^n \lambda_ix_i^p \right)^{\frac{1}{p}} \ge \left( \sum_{i=1}^n \lambda_ix_i^q \right)^{\frac{1}{q}}$
.

Penso che l'amministratore possa aiutare

[nicarepo]

Probabilmente si può dimostrare con la disuguaglianza di Jensen: data una funzione convessa $ f:I \rightarrow \mathbb{R} $ e un n-upla di valori $ t_1 , ..., t_n $ tali che $ t_1+t_2+...+t_n=1 $ si dimostra che:

$ f(t_1y_1+...+t_n y_n) \le t_1 f(y_1) + ... + t_n f(y_n) $

dove $ y_1, ... , y_n $ sono punti dell'intervallo. Prendiamo la funzione $ f(z)=z^{p/q} $. Per $ q \le p \in \mathbb{R} $ si tratta di una funzione convessa e quindi si può usare per la disuguaglianza di Jensen. Come punti dell'intervallo scegliamo arbitrariamente: $ x_1^q, ... , x_n^q $. Essendo $ q \in \mathbb{R} $ è necessario che $ x_i \ge 0 $. Questo non cambia nulla ai fini della dimostrazione. Si può scrivere:

$ f(t_1x_1^q+...+t_n x_n^q) \le t_1 f(x_1^q) + ... + t_n f(x_n^q) \Longrightarrow (t_1 x_1^q+...+t_n x_n^q)^{p/q} \le t_1(x_1^q)^{p/q}+...+ t_n(x_n^q)^{p/q} $

Ovvero, usando le proprietà delle potenze: $ (\sum_{i=1}^n t_i x_i^q)^{1/q} \le (\sum_{i=1}^n t_i x_i^p)^{1/p} $

[nicarepo]

Nel caso in cui $ t_i= 1/n $ si ottiene la media di Holder, che sarebbe la generalizzazione delle medie classiche e che è una funzione monotona crescente (al variare di $ p \in \mathbb{R} $, discende dalla precedente dimostrazione) limitata superiormente e inferiormente.