Angoli in tdn

[Gerald Lambeau]

Sia $p$ un primo dispari tale che esistono $a, b$ interi positivi con $p=a^2+b^2$. Sia $\theta$ tale che $\displaystyle \cos{\theta}=\frac{a^2-b^2}{p}, \sin{\theta}=\frac{2ab}{p}$.
Dimostrare che $\theta$ non è mai un multiplo razionale di $\pi$.

[Lance]

Potrebbe aver senso considerare la successione $ a_n = p\sin(n\theta) $?

[Gerald Lambeau]

Non lo so, io l'ho fatto diversamente, ma se ho ben capito qual è il tuo scopo prova, potrebbe funzionare (forse però intendevi $p^n$ invece che solo $p$?).

[Lance]

mi viene $ a_{n+2} = 2(a^2-b^2)a_{n+1}-p^2a_n $ la ricorrenza.. però non so se si riesce a concludere in questo modo..

[Gerald Lambeau]

Vediamo che si può dire: il problema da cui ho generalizzato effettivamente prima ti dava la ricorrenza da verificare e solo dopo ti chiedeva di dimostrare questo (attraverso una domanda indiretta); questo mi porterebbe a non dare troppa fiducia alla ricorrenza, se non fosse che quella del testo era con il coseno, forse proprio per deviare l'attenzione dal seno.. effettivamente la mia soluzione non penso proprio sia quella che voleva chi ha proposto il problema, e anzi forse guardare al seno penso sia la cosa migliore.
TL; DR: che condizione deve soddisfare il seno affinché la tesi sia falsa? Provo anch'io perché onestamente non so cosa succede dopo.

[Gerald Lambeau]

Ok, ho ottenuto un magico $\sin{n\theta}=\pm \sin{2\theta}$ che purtroppo non aiuta.
Il problema è che l'ho ottenuto dopo un po' di conti trigonometrici, quindi ci sta che facendoli in un altro modo si ottenga di meglio.

[Drago96]

C'è un modo carino per cui il problema è stato costruito, ma anche il truccone

[Gerald Lambeau]

Carino il truccone!
Il massimo che sono riuscito a dimostrare con l'altro metodo è che gli unici multipli razionali di $\pi$ con sia il seno che coseno razionali sono i multipli interi di $\dfrac{\pi}{2}$.

[Gerald Lambeau]

mi viene $ a_{n+2} = 2(a^2-b^2)a_{n+1}-p^2a_n $ la ricorrenza.. però non so se si riesce a concludere in questo modo..

Ho trovato un modo per chiudere la tua via: dimostra che $a_n \equiv 0 \pmod{p}$ se e solo se $n=0$ e deducine che $\sin{n \theta}$ non è mai $0$ per $n \ge 1$, quindi...

[Lance]

che a_n non sia mai congruente a 0 mod p si verifica facilmente per induzione (p non divide né 2ab né 2(a^2-b^2)). Detto questo, se fosse $ \theta = \frac{m\pi}{n} $ avremmo $ a_n = p^n sin(m\pi) = 0 $, assurdo.