Sul mio libro di matematica c'è il seguente teorema (che definisce di "Legendre" anche se ho dei dubbi che esista). In ogni caso dice questo:
Sia
[math]ABCD un quadrilatero ciclico, si dimostri che:
[math]AB \cdot BD \cdot AD + DB \cdot BC \cdot DC = AC \cdot BC \cdot AB + AC \cdot DC \cdot AD
Ho provato a metterlo in complesso sulla circonferenza unitaria ma non è uscito nulla di buono, poi ho provato con trigonometria (teorema della corda) e sono arrivato a questa uguaglianza abbastanza bella (ma che non so dimostrare
): siano
[math] \alpha, \beta, \gamma, \delta angoli tali che
[math] \alpha+ \beta+ \gamma+ \delta = \pi allora:
[math] sin(\alpha) \cdot sin(\beta) \cdot sin(\alpha + \beta) + sin(\gamma) \cdot sin(\delta) \cdot sin(\gamma+\delta) = sin(\alpha) \cdot sin(\gamma) \cdot sin(\alpha + \gamma) + sin(\beta) \cdot sin(\delta) \cdot sin(\beta + \delta)
Il problema ricorda molto Tolomeo ma non sono riuscito a trovare collegamenti. Ringrazio in anticipo tutte le soluzioni che arriveranno
