Base 143

[Michael Pasquini]

Trova il più piccolo $ n\in\mathbb{Z}^+ $ tale che $ 3^n $ scritto in base $ 143 $ abbia come ultime cifre (quelle più a destra) $ 01 $
Divertitevi

[filig]

La risposta è 17160?

[Michael Pasquini]

Metti la dimostrazione

Testo nascosto:

Comunque non è corretto

[Lance]

Penso che l'idea sia trovare $ n $ tale che $ 3^n \equiv 1 (mod 121) $ e $ 3^n \equiv 1 (mod 169) $. La prima congruenza è facile (viene [math]n = 5t) per la seconda però non saprei come procedere

[Paolo Giaretta]

L'equazione è equivalente a [math]3^n \equiv 1 \mod 11^2 e [math]3^n \equiv 1 \mod 13^2. Per la prima [math]n=5k sono soluzioni. Per la seconda, invece, si ha [math]3^3=1+2\cdot13, quindi [math]3^{3t} = (1+2\cdot13)^t \equiv 1+ 2\cdot13t\mod 13^2 e le soluzioni sono della forma [math]n=39k. Il più piccolo n vale [math]5\cdot39=195.

[Michael Pasquini]

Ottimo