tassellazioni...

[pipotoninoster]

Quali quadrati [math]n\cdot n sono tassellabili con dei tasselli da tre quadratini a forma di "L"?

[Vinci]

Per caso è

Testo nascosto:

Solo quelli con $n=3k$, con $k \in \mathbb{N} \setminus \{1\}$???

[savian]

Testo nascosto:

[math]n=6k

dico bene?

[pipotoninoster]

Ma avete una dimostrazione per quello che dite?

[Vinci]

Testo nascosto:

La mia dimostrazione è un pò bruttina, ma in ogni caso mi sembra giusta, spero di non aver fatto errori.
Se il quadrato è tassellabile allora ha un numero di quadratini $n^2$ multiplo di 3 e dato che 3 è primo, $n$ è multiplo di 3. Scriviamo quindi $n=3m$. DImostro ora che il quadrato è tassellabile per ogni $m$ naturale diverso da 1.
Noto che per $n=3$ il quadrato non è tassellabile, quindi $m\ge 2$. Scopro che per $n=6$ e per $n=9$ il quadrato è tassellabile (questa è la parte più brutta, fatta a mano, se volete pubblico un'immagine che lo mostra; purtroppo questa è l'unica dimostrazione che ho trovato). Ovviamente il rettangolo $2\times 3$ è tassellabile e quindi tutti i rettangoli $2h\times 3k$ con h e k naturali sono tassellabili in quanto si possono formare accostando rettangoli $2\times 3$; lo stesso è vero per quadrati con $n=6t$ o $n=9t$ con t naturale in quanto si ottengono accostando quadrati $6\times 6$ o $9\times 9$.
A questo punto la tesi sarebbe vera se per ogni $n$ multiplo di 3 diverso da 3 esistessero $a$ e $b$ naturali o nulli tali che $$n=6a+9b$$ in quanto il quadrato sarebbe ottenuto accostando rettangoli e quadrati dei tipi $6\times 6$, $9\times 9$ e $2\times 3$.
Ciò equivale a dire che la diofantea $$m=2a+3b$$ ha almeno una soluzione (con a e b naturali o nulli) per ogni m naturale diverso da 1. E' ovvio che sia vero per tutti gli m pari, multipli di 3 o congrui a 2 mod 3, rimane da dimostrarlo per tutti gli m dispari congrui a 1 mod 3. Sia $m=3m'+1$; $m'$ è pari, altrimenti $m$ sarebbe pari, quindi possiamo scrivere $m'=2m''$ (nota: abbiamo $m\ne 1$ e quindi $m'\ne 1$) da cui $m=6m''+1$. Per induzione su $m''$ gli m di questo tipo hanno sempre una soluzione $(a,b)$ per l'equazione sopra:
Passo base - $m''=1$ ovvero $m=7=3+2\cdot 2$
Passo induttivo - se esiste una soluzione per $m''$ allora esiste anche una soluzione per $m''+1$ in quanto $m=6(m''+1)+1=6m''+7=(6m''+1)+2\cdot 3$

[fph]

Ma avete una dimostrazione per quello che dite?

Al più uno solo dei due...

[Michael Pasquini]

Provo con una dimostrazione più corta :

Testo nascosto:

Divido la scacchiera in quadretti (1×1) bianchi e neri alternati.
Noto che esistono 2 tipi di tasselli a L, quelli con 2 quadretti neri ed uno bianco e vice versa.
Chiamo $ T_1 $ il numero di tasselli del primo tipo e $ T_2 $ quelli del secondo.
Essendoci in un quadrato $ n×n $ un numero uguale di quadretti bianchi e neri, allora $ T_1=T_2 $, quindi la loro somma deve essere pari.
Poi essendo formati da 3 quadretti l'uno, so che la somma di tutti i quadretti interni deve essere multipla di 6.
$ n×n=6k $ e quindi $ n=6k $

[Vinci]

Ma non c'è un numero uguale di quadretti bianchi e neri per $n$ dispari (guarda il quadrato 3x3)

[Michael Pasquini]

hai ragione ho dato una risposta affrettata

[pipotoninoster]

Vinci, com'é la tassellazione del 9x9?

[Michael Pasquini]

Qualcuno che riesce a dare una risposta buona?

[Vinci]

Vinci, com'é la tassellazione del 9x9?

9x9.jpeg (148 KiB) Visto 13456 volte

[Michael Pasquini]

Giusto, ma non riesco a dimistrarlo matematicamente per n dispari