1. Un luogo geometrico particolare

[Lance]

Molti utenti del forum proveranno quest'anno il test di ammissione alla Normale, quindi mi è venuta l'idea di cominciare una staffetta con problemi su quello stile
Per chi fosse interessato, ecco il problema 1:
Sia $ k $ un numero reale positivo e siano $ P_1, P_2, ..., P_N $ $ N $ punti nel piano. Trovare il luogo dei punti $ P $ tali che $ \sum (PP_i)^2 = k $

[nicarepo]

Una circonferenza?

[Lance]

Yep

[fph]

Ci scrivi anche una dimostrazione?

[Leonhard Euler]

Sia $ P=(x,y) $ il punto che al variare di [math]x,y descrive il luogo geometrico e [math]P_i=(x_i,y_i) l'[math]i-esimo punto del piano fissato.
Si può riscrivere la caratteristica del luogo come:
[math]\sum(PP_i)^2=\sum(x-x_1)^2+\sum(y-y_i)^2=
[math]nx^2+ny^2-2x\sum(x_i)-2y\sum(y_i)+\sum(x_i)^2+\sum(y_i)^2=
[math]k
Dividendo per [math]n quest'ultima uguaglianza e ricordando essere fissi i valori degli [math]x_i e degli [math]y_i si arriva a:
[math]x^2+y^2+ax+bx+c=0
Equazione canonica della circonferenza nel piano.

Testo nascosto:

Per completare la dimostrazione non bisogna dimenticarsi di controllare quando questa equazione rappresenta davvero una circonferenza, andando a studiare in che condizioni si verifichino casi degeneri.

[fph]

Potrebbe essere interessante anche capire quando si verificano questi casi degeneri. Riuscite a trovare una caratterizzazione geometrica, migliore di "faccio tutti i conti in analitica e vedo che succede", per dire quando questa circonferenza esiste o è un punto o è vuota?

[nicarepo]

Anche se non centra nulla con i casi degeneri, magari può aiutare a capire come funziona il luogo. Risistemando la formula esce:

$ (x- \frac{\sum x_i}{n})^2 +(y-\frac{\sum y_i}{n})^2 = \frac{k}{n} +\frac{(\sum x_i)^2+(\sum y_i)^2}{n^2} - \frac{\sum x_i^2 +\sum y_i^2}{n} $

Quindi il centro sarebbe la media aritmetica dei punti che scegli. Magari trovando un'interpretazione geometrica alla parte destra si riesce anche a capire come funzionano i casi degeneri.

[Leonhard Euler]

Quindi il centro sarebbe la media aritmetica dei punti che scegli. Magari trovando un'interpretazione geometrica alla parte destra si riesce anche a capire come funzionano i casi degeneri

In verità sei molto vicino alla soluzione, è sufficiente considerare che il punto in cui degenera la circonferenza è proprio il suo centro, che dipende solamente dalla scelta iniziale degli $ n $ punti e che coincide con il baricentro della figura quando i punti sono a tre a tre non allineati.

[fph]

Media aritmetica, detta anche baricentro.

[Lance]

Leonhard Euler, il testimone è tuo
p.s. : cerchiamo di salire gradualmente con la difficoltà

[Sebastiano]

Un approccio fisico può essere questo.
Supponiamo di porre in ogni $ P_i $ un'uguale massa $ m $. Sia $ G $ il baricentro di questo sistema (che coincide proprio con quello dei punti $ P_i $ essendo tutte le masse uguali). Il momento di inerzia del sistema rispetto a un asse perpendicolare al piano e passante per $ G $ è
$ I_G=m\sum (GP_i)^2 $
Quello rispetto a un asse passante per $ P $ è
$ I_P=m\sum (PP_i)^2 $
Il teorema di Steiner afferma $ I_P=I_G+Nm \cdot GP^2 $, quindi
$ m\sum (PP_i)^2=m\sum (GP_i)^2+Nm\cdot GP^2 $
$ N\cdot GP^2=k-\sum (GP_i)^2 $
Il membro di destra dipende solo da $ k $ e dalla scelta dei $ P_i $, dunque è costante: tutti i punti $ P $ del luogo sono equidistanti da $ G $.
Se $ k\geq\sum (GP_i)^2 $, il luogo è una circonferenza di centro $ G $ e raggio $ \sqrt{\frac{k-\sum (GP_i)^2}{N}} $, altrimenti il luogo è vuoto.