Disuguaglianza polinomiale

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Sembra che quest\'oggi la mia scuola sia l\'unica d\'Italia a fare il ponte. Beh, meglio così. Per divertirmi un po\' il problema (che definirei simpatico) l\'ho allegato come immagine.
 Ciao

alberto · Messaggio da **alberto** » 01 gen 1970, 01:33

intanto se tutti i coefficienti sono non negativi non esistono radici positive; le radici sono quiindi -r1, -r2, -r3.... -rn
 il polinomio si può scrivere come:
 (x+r1)*(x+r2)*(x+r3)*...*(x+rn),
 quindi P(2) si scrive come: (2+r1)*(2+r2)*(2+r3)*...*(2+rn),
 con (r1)*(r2)*(r3)*...*(rn)=1 (che corrisponde al termine noto nel polinomio di partenza)
 il prodotto (2+r1)*(2+r2)*(2+r3)*...*(2+rn) è sicuramente maggiore o uguale a 3^n con il segno di uguaglianza solo se r1=r2=r3=...=rn=1

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Beh, sì, in effetti ci sei quasi: però la frase
 
 \"Il prodotto (2+r1)*(2+r2)*(2+r3)*...*(2+rn) è sicuramente maggiore o uguale a 3^n con il segno di uguaglianza solo se r1=r2=r3=...=rn=1 \"
 
 andrebbe motivata un po\' meglio...

alberto2 · Messaggio da **alberto2** » 01 gen 1970, 01:33

[SONO SEMPRE ALBERTO] è vero... scusa, ma ero di fretta... vediamo un po\':
 sia r(s)=1/a, con a>1.
 esiste almeno un p per cui r(p)=b, con b>1.
 moltiplicando r(s) per a e dividendo r(p) per a si mantiene valida la relazione (r1)*(r2)*(r3)*...*(rn)=1
 il prodotto (2+r(s))*(2+r(q)) invece diminuisce infatti:
 (2+1/a)*(2+b)>(2+1)(2+b/a)... (tralascio i conti)
 quindi dopo un certo numero di questi passaggi si ottiene una serie di resti tutti uguali a 1 e in questa serie il prodotto (2+r1)*(2+r2)*(2+r3)*...*(2+rn) è minimo ed è uguale a 3^n.

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

giusto una piccola variante dopo che A_2 ha fatto tutto. la diseguaglianza da provare e\' equivalente a:
 
 Prodotto (2+r_i)/3>=1 con le stesse condizioni sul prodotto degli r_i.
 Ma (2+r_i)/3>=(1*1*r_i)^(1/3), quindi
 Prodotto (2+r_i)/3>=(Prodotto(1*1*x_i))^(1/3)=1

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

c\'è pure un\'altra bella soluzione...

andreamarchese · Messaggio da **andreamarchese** » 01 gen 1970, 01:33

[SONO LA TERZA IDENTITA\' DI ALBERTO] ne ho trovata un\'altra...forse è quella che dici tu:
 scriviamo 3^n come (2+1)^n
 (per [ab] intenderò il coefficiente binomiale di a su b):
 (2+1)^n= [n0]*2^n+[n1]*2^(n-1)+[n2]*2^(n-2)+[n3]*2^(n-3)+...+[nn]*2^0
 
 il polinomio di partenza P(2)era invece:
 1*2^n+a1*2^(n-1)+a2*2^(n-2)+a3*2^(n-3)+...+1*2^0
 
 confrontando i coefficienti binomiali con i coefficienti del polinomio di partenza si nota che ogni coefficiente del polinomio (aX) è>= del suo coefficiente binomiale corrispondente([nX]), da cui segue che P(2)>=(2+1)^n
 infatti:
 scrivendo il polinomio come (x+r1)*(x+r2)*(x+r3)*...*(x+rn),
 a1 corrisponde alla sommatoria degli rN
 a2 corrisponde alla sommatoria di tutte le coppie degli rN
 a3 corrisponde alla sommatoria di tutte le terne degli rN
 ecc
 ma la media geometrica delle coppie, terne,... è sempre 1, quindi la media aritmetica delle coppie,terne,...è sempre >=1(per la disuguaglianza tra le medie).
 ora siccome il numero di rN=[n1],
 il numero delle coppie di rN=[n2],
 il numero delle terne di rN=[n3],
 ecc...
 segue che a1>=[n1],
 a2>=[n2],
 a3>=[n3],
 ecc...
 
 spero di essere stato abbastanza chiaro!
 
 
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