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Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Una dimostrazione che non usi (in modo esplicito...) l\'induzione ci sarebbe, ma non mi sembra tanto più bella: grazie alla formula (a+1)^3 = a^3+3a^2+3a+1, possiamo scrivere
 
 1^3 = 0^3 + 3*0^2 + 3*0 + 1,
 2^3 = 1^3 + 3*1^2 + 3*1 + 1,
 3^3 = 2^3 + 3*2^2 + 3*2 + 1,
 .
 .
 .
 (n+1)^3 = n^3 + 3*n^2 + 3*n + 1.
 
 Sommando membro a membro, si cancellano tutti i cubi tranne (n+1)^3:
 
 (n+1)^3 = 3*(Somma quadrati) + 3*(0+1+2+3+...+n) + n+1,
 
 da cui
 
 Somma quadrati = ((n+1)^3)/3 - n(n+1)/2 - (n+1)/3 = n(n+1)(2n+1)/6.[addsig]

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

ha il merito di non partire dal fondo come la dimostrazione standard (dimostri per induzione una formula giunta dal cielo)

ReKaio · Messaggio da **ReKaio** » 01 gen 1970, 01:33

che bello, quel metodo funziona per la somma delle n-sime potenze, se si conoscono tutte le formule precendenti
 
 ^^

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

la formula più bella delle somme dei primi n quadrati è per me quella che utilizza le differenze finite, sapete cosa sono?
 tipo:
 0 1 5 14 30 ....
 1 4 9 16.....
 3 5 7....
 2 2.....
 ad un certo punto il processo che continua a fare le differenze tra due termini successivi finisce e ciò ci dice che la formula che esprime l\'n-esimo termine è un\'polinomio (il cui grado è tre perchè ci sono tre righe prima che i termini diventino uguali).
 allora il polinomio sarà del tipo:
 a*n^3 + b*n^2 + c*n + d
 ora per trovare i coefficienti basta un sistema con qualche valore di n per cui il risultato è noto... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 27-06-2003 18:47 ]

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

mi sfugge la storia del polinomia, non è che potresti fare un esempio?

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

prendiamo la somma dei primi n naturali...
 i risultati sono per n=1,2,3.... i seguenti:
 0 1 3 6 10.... che facendo le differenze tra termini successivi si ha
 1 2 3 4.... ripetendo il processo...
 1 1 1....
 allora poichè ad un certo punto diventano tutti 1 (l\'importante è che si arrivi ad avere sempre la stessa differenza)
 la serie può essere espressa da un polinomio LINEARE di secondo grado del tipo:
 ax^2 + bx +c
 da cui si ricava a=1/2, b=1/2 , c=0

ReKaio · Messaggio da **ReKaio** » 01 gen 1970, 01:33

la formula per la somma delle n-sime potenze è un polinomio di grado n+1 ( P(x)+(x+1)^n=P(x+1) per ogni x)
 
 P(1)=1^n
 P(2)=1^n+2^n
 ...
 P(n+1)=1^n+2^n+....+(n+1)^n
 
 risolvi il sistema e trovi i coefficenti di P(x)
 
 si può risparmiare tempo se consideri che, per via dei numeri di Bernoulli, lunga storia, P(x) contiene solo potenze di x con parità diversa da x, a parte x stesso
 
 con x pari:
 p(x)=(a_1)*x^(n+1)+(a_2)*x^(n)+(a_3)*x^(n-1)+(a_2)*x^(n-3)+...+(a_(n/2+1))*x³+(a_(n/2+2))*x
 
 con x dispari
 p(x)=(a_1)*x^(n+1)+(a_2)*x^(n)+(a_3)*x^(n-1)+(a_2)*x^(n-3)+...+(a_((n+1)/2))*x^4+(a_((n+1)/2+1))*x²
 
 quindi dovendo considerare solo n/2+2 o (n+1)/2+1 servono meno equazioni da mettere a sistema per trovare la formula \"brute force\" (unico modo veloce per potenze grandi) [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 27-06-2003 20:30 ]

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-06-27 18:46, Biagio wrote:
 la formula più bella delle somme dei primi n quadrati è per me quella che utilizza le differenze finite, sapete cosa sono?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Sì, è più o meno l\'idea che mi era venuta la prima volta che ho cercato un\'espressione chiusa per la somma dei quadrati, e un algoritmo per calcolare le radici n-esime troncate. Poi però mi sono messo a fare ricorsioni e casini vari, ma ripensandoci tutto quello che ho fatto è stato esattamente quello che dice Biagio, ed anche quello che ha suggerito ReKaio vedendo la dimostrazione che somma membro a membro. Ho visto un\'altra dimostrazione su un libro che è di fatto equivalente. Insomma, credo che non esistano modi sostanzialmente diversi di trovare quella somma.
 Ma, ovviamente, adesso che sappiamo che la somma delle potenze n-esime è un polinomio di grado n+1, sarà sufficiente fare n+2 esperimenti, scriversi il sistema e trovare i coefficienti, senza porsi troppi problemi.
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Esistono modi sostanzialmente differenti di trovare quella somma.
 
 Prima un excursus storico:
 La teoria delle differenze di ordine k bla bla era una volta in voga pure in terreno olimpico, cfr. The USSR Olympiad problem book (quella che probabilmente ti sei fotocopiato, Giov), risalente all\'incirca agli anni \'60. Poi è caduta in disuso, al pari con sommo gaudio di quei problemi sulle cifre degli interi (che però ci hanno propinato a Cese negli ultimi due anni, il che in parte mi sconfessa).
 
 Ecco, detto questo un buon modo (generalizzabile) per trovare la somma dei primi k quadrati è il seguente:
 
 Dato l\'insieme (1,2,...,k,k+1) si contino quante sono sono le terne x,y,z tali che x>(y,z). Con x=1 ci sono 0 terne di questo genere, con x=2 c\'è una terna, con x=3 ci sono 2²=4 terne... con x=k+1 ci sono k² terne.
 Dunque esse sono 1²+2²+...+k².
 D\'altra parte se x=y ci sono (k+1 2) terne, se x>y o viceversa ce ne sono (k+1 3). Pertanto
 
 1²+2²+...+k² = (k+1 2) + (k+1 3) = k(k+1)(2k+1)/6.
 
 Grazie a mamma combinatoria, a padre double counting a a figliol prodigo mr. Engel.
 
 Ovviamente questa verità è generalizzabile, ma soprattutto è una via straveloce per ricavarsi a mano casi che potrebbero capitare, come potenze quarte o quinte.
 
 Uff... l\'HTML non ama le relazioni d\'ordine... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: lordgauss il 28-06-2003 17:00 ]

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-06-28 16:58, lordgauss wrote:
 D\'altra parte se x=y ci sono (k+1 2) terne, se x>y o viceversa ce ne sono (k+1 3).
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 (Qui sarà y=z e y>z.)
 Comunque grazie, questa non la sapevo! E non l\'avrei mai saputa senza il tuo aiuto, visto che qualcuno si è apparentemente impadronito del mio Engel.
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Io il problema della somma dei quadrati l\'ho risolta geometricamente e ci ho messo un bel pò di tempo..l\'idea di Biagio è 100000 volte superiore!!!

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-06-28 17:38, Simo_the_wolf wrote:
 Io il problema della somma dei quadrati l\'ho risolta geometricamente
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Molto interessante. Hai voglia di postare il procedimento? Lo so che se è una roba geometrica non si capirà nulla, ma sono troppo curioso.

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Un attimo che ci ripenso... x stasera vedo di postare il procedimento <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

ReKaio · Messaggio da **ReKaio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-06-26 07:01, Antimateria wrote:
 Una dimostrazione che non usi (in modo esplicito...) l\'induzione ci sarebbe, ma non mi sembra tanto più bella: grazie alla formula (a+1)^3 = a^3+3a^2+3a+1, possiamo scrivere
 
 1^3 = 0^3 + 3*0^2 + 3*0 + 1,
 2^3 = 1^3 + 3*1^2 + 3*1 + 1,
 3^3 = 2^3 + 3*2^2 + 3*2 + 1,
 .
 .
 .
 (n+1)^3 = n^3 + 3*n^2 + 3*n + 1.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 stamattina ero in crisi depressiva, colpa di Kant, e non potevo tirar fuori nessun libro di matematica, così la mia mente ha riesumato questa questione, qua i miei appunti di filosofia: (beeeello)
 
 <A HREF="http://kaiou.altervista.org/formula3.jpg" TARGET="_blank">kaiou.altervista.org/formula3.jpg</A>
 
 
 
 (scusate se riesumo un post vecchio) [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 16-09-2003 15:38 ]