Teoria Numer!

Final · Messaggio da **Final** » 01 gen 1970, 01:33

2^x + 3^y = z^2
 
 Bye! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Final il 19-09-2003 20:17 ]

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

In parole povere: la somma di due numeri interi può essere uguale ad un quadrato?
 
 P.S. Mi sembra che tempo fa chiesi informazioni riguardo ciò...ho detto mi sembra.......

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

Il secondo membro deve essere dispari ed in più congruo a 1 mod 4.
 Quindi z è dispari, mentre x e y possono essere tanto pari quanto dispari.
 Se sono pari il primo membro è congruo a 1 mod 4.
 Se sono dispari è impossibile perchè il primo membro è congruo 3 mod 4.
 Se x pari e y dispari dovrebbe essere impossibile.
 Se x dispari e y pari allora va bene.
 Quindi x et y pari vel x dispari e y pari.
 
 Non so se sono esatte le congruenze perchè vado di fretta.

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

immagino x, y, z interi positivi, comunque...
 per il mod. 3 otteniamo che x dev\'essere pari
 ==>2^2a + 3^y = z^2
 ==> per le congr. mod 4 otteniamo che anche y è pari:
 ==>2^2a + 3^2b = z^2
 ==>2^2a=(z - 3^b)(3^b + z) poiché i due fattori non possono essere tutti divisibili per 4 si ha necessariamente z - 3^b=2 ==> z=3^b + 2
 sostituendo all\'eq.iniziale abbiamo:
 2^2a + 3^2b = 4 + 3^2b + 4*3^b
 ==>(2^(a-1) +1)(2^(a-1) -1)=3^b i due fattori sono primi tra loro, dunque 2^(a-1)=2 ==> a=2, b=1, z=5 ==> x=4,y=2,z=5

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

In realtà solo x pari e y pari va bene, per le congruenze modulo 3.
 Allora si può sostituri ad x=2a e a y=2b e poi spostare uno dei due all\'altro membro, scomporre e poi fare delle osservazioni.

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

Ah, non mi ero accorto che biagio era arrivato prima.
 E\' stato più cinico di me...........
 Diciamo più bravo e più veloce. <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

vabbé, nella mia dim. sono partito dall\'ipotesi che x,y,z fossero strettamente positivi, includendo anche lo 0, si ha anche la sol. x=0,y=1,z=2 e si trva imponendo x=0
 grazie a massimino... <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 19-09-2003 21:23 ]

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Provo ancora a rispondere (spero solo di non finire come l\'altra volta).
 2^x+3^y=2^z.
 Analizziamo il caso x=1.
 2+3^y=z^2.Considerando mod 3 si nota 2=z^2 ma z^2 è uguale a 1/0 mod 3. Impossibile.
 x>1. Analizziamo mod 4.
 0+1/3=0/1 Cioè y deve essere pari. Quindi 2^x=z^2-3^2y
 Scompongo (biagio e lord insegnano) 2^x=(z+3^y)*(z-3^y)..
 se i due fattori possedessero un fattore in comune a, a dividerebbe 2*3^y. Quindi a non può essere uguale a può essere al massimo uguale a 2.
 
 Ammettiamo che z+3^y=2^k e z-3^y=2^f Il secondo è minore quindi f<=1.
 Se f=1......
 Esplicitando z nelle due precedenti 2^k-3^y=2+3^y---raccogliendo e dividendo per 2--- 3^y=2^(k-1)-1--3^y=(2^[(k-1)/2]+1)*(2^[(k-1)/2]-1)
 ma se 3 divide entrambi i fattori 3 divide 2 impossibile quindi il secondo fattore è uguale ad 1 -------k-1=2----k=3 unica soluzione---da cui y=1 e z=5
 . L\'unica sol insomma è 2^4+3^2=5^2
 Ciao

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Scusate....per un motivo o l\'altro o visto solo ora che avevate già spedito la sol...

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Ovviamente evito di completare la mia dim con il caso x=0 ed f=0 perchè già biagio ha spedito una sol...

Leblanc · Messaggio da **Leblanc** » 01 gen 1970, 01:33

Noto che la soluzione x=3, y=0 e k=3 non è stata ancora trovata. Metto tutto il mio procedimento, anche se in gran parte è uguale perchè non ho voglia di ripensare al vostro.
 
 Per x = 0 si ha
 1+ 3^y =z^2
 y=1 e z=2 che è unica perché si ha:
 3^y =(z+1)(z-1) il che è verificato solo se y=1 (evidente)
 
 Se x =/=0 z é dispari e z^2==1 mod 8. Poi:
 3^2m ==1, 3^(2m+1)==3 mod 8
 
 Il primo membro é == 1 mod 8 solo se uguale a 2^m + 3^2n con m > 2. Infatti:
 per x = 1: 2 + 3^2n==3 o 5 mod 8
 per x = 2: 4 + 3^2n==5 o 7 mod 8
 per x > 2: 2^x + 3^2n== 1 mod 8
 Si ha pertanto:
 2x + 3^2m = z^2 x > 2
 da cui:
 (z + 3^m)(z - 3^m) = 2^x (1)
 Dovrà essere:
 z + 3^m = 2^a z - 3^m = 2^b a>b>=0
 e
 mcd(z + 3^m, z - 3^m) = 2^b | (z + 3^m) - (z - 3^m) = 2 * 3^m
 da cui b = 0 o 1.
 b = 0 non é possibile, perché sarebbe z - 3^m = 1 e la differenza di due numeri dispari non può essere 1.
 Se b = 1:
 z - 3^m = 2
 z = 2 + 3^m
 che sostituito in (1):
 (2 + 2 * 3^m) * 2 = 2^x
 1 + 3^m = 2^(x-2)
 Dimostro che x non é > 4.
 Per ogni x > 4 il secondo membro é == 0 mod 8, mentre il primo non può esserlo. Infatti:
 3^m == 1 o 3 mod 8 e 1 + 3^m == 2 o 4 mod 8
 Le soluzioni possibili sono quindi solo x = 3 o x = 4.
 Per x = 3 si ha:
 1 + 3^m = 2
 da cui m = 0 e z = 3.
 Per x = 4 si ha:
 1 + 3^m = 4
 da cui m = 1 e z = 5.
 
 Le uniche soluzioni sono:
 x = 0, y = 1, z = 2
 x = 3, y = 0, z = 3
 x= 4, y = 2, z = 5

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Grazie Leblanc....il fatto è che appena ho visto il messaggio volevo rispondere.(l\'es era molto simile a quello che giorni prima avevo in modo indegno cannato) e la fretta mi ha fregato (alcuni casi non sono stati analizzati).....
 Ciao