Cavoli a merenda (problema olimpiadi)

[Giapogeppo]

Ciao,
qualche giorno fa c'erano le gare di fine anno.
Il problema 12, a mio avviso il più difficile, non so come risolverlo.
se qualcuno vuole aiutarmi ecco qui il testo:

Angelo coltiva cavoli nel suo orto e li pianta in un quadrato perfetto.
Dopo aver raccolto 336 cavoli osserva che quelli rimasti formano un quadrato perfetto.
Dopo alcuni giorni raccoglie ancora 336 cavoli e ancora una volta i cavoli restanti formano un quadrato perfetto.
Quanti sono i cavoli rimasti nell'orto di Angelo dopo il secondo raccolto?

Grazie.

[Luca Milanese]

Ciao. Posto la mia soluzione. A quali gare ti riferisci?

Testo nascosto:

Il problema equivale a un sistema di equazioni diofantee. La prima parte del testo può essere scritta come a^2-336=b^2, la seconda come b^2-336=c^2. Dalla prima equazione otteniamo (a+b)(a-b)=336=(2^4)×3×7, e quindi le soluzioni intere positive a e b sono le 10 coppie ordinate (con a>b) tali che a+b e a-b sono divisori di 336 che verificano l'equazione (perchè abbiamo visto che i divisori interi positivi di 336 sono 20). Tra queste, si cerca poi quella tale che anche (b+c)(b-c)=336 abbia soluzioni intere positive, e l'unica è a=31, b=25, c=17. Quindi dopo il secondo raccolto rimangono 17^2=289 cavoli. Spero che si capisca quello che ho scritto.

[Maionsss]

Testo nascosto:

$289?$

È solo la risposta numerica, in caso fosse giusta posto la mia soluzione.

[Giapogeppo]

Ciao. Posto la mia soluzione. A quali gare ti riferisci?

Testo nascosto:

Il problema equivale a un sistema di equazioni diofantee. La prima parte del testo può essere scritta come a^2-336=b^2, la seconda come b^2-336=c^2. Dalla prima equazione otteniamo (a+b)(a-b)=336=(2^4)×3×7, e quindi le soluzioni intere positive a e b sono le 10 coppie ordinate (con a>b) tali che a+b e a-b sono divisori di 336 che verificano l'equazione (perchè abbiamo visto che i divisori interi positivi di 336 sono 20). Tra queste, si cerca poi quella tale che anche (b+c)(b-c)=336 abbia soluzioni intere positive, e l'unica è a=31, b=25, c=17. Quindi dopo il secondo raccolto rimangono 17^2=289 cavoli. Spero che si capisca quello che ho scritto.

Grazie anche io lo avevo sviluppato così solo che mi ero dimenticato non so perchè di contare anche la seconda equazione.
comunque grazie anche se sono rimasto un po' basito perchè l'unico errore era che mi sono dimenticato la seconda equazione; mannaggia a me.

[Giapogeppo]

Ciao. Posto la mia soluzione. A quali gare ti riferisci?

Testo nascosto:

Il problema equivale a un sistema di equazioni diofantee. La prima parte del testo può essere scritta come a^2-336=b^2, la seconda come b^2-336=c^2. Dalla prima equazione otteniamo (a+b)(a-b)=336=(2^4)×3×7, e quindi le soluzioni intere positive a e b sono le 10 coppie ordinate (con a>b) tali che a+b e a-b sono divisori di 336 che verificano l'equazione (perchè abbiamo visto che i divisori interi positivi di 336 sono 20). Tra queste, si cerca poi quella tale che anche (b+c)(b-c)=336 abbia soluzioni intere positive, e l'unica è a=31, b=25, c=17. Quindi dopo il secondo raccolto rimangono 17^2=289 cavoli. Spero che si capisca quello che ho scritto.

Alle gare aperte a tutti di fine anno a squadre (allenamento)

[Luca Milanese]

Purtroppo capita a tutti (soprattutto a me!) di fare errori di distrazione. Mi sono giocato i primi posti alla finale Bocconi di quest'anno in questa maniera...

[Giapogeppo]

Purtroppo capita a tutti (soprattutto a me!) di fare errori di distrazione. Mi sono giocato i primi posti alla finale Bocconi di quest'anno in questa maniera...

Hai ragione capita poi è pure estate quindi mi sento scusato

[Giapogeppo]

Testo nascosto:

$289?$

È solo la risposta numerica, in caso fosse giusta posto la mia soluzione.

è corretta, se la tua soluzione è differente dalla nostra potresti postarla che sono curioso.
Grazie.

[Maionsss]

Nono la soluzione è identica a quella già postata

[fph]

Comunque, per la cronaca, non credo proprio che sia un problema delle olimpiadi...

[TeoricodeiNumeri]

[math]
Vi propongo una soluzione un po' più tecnica, apparentemente più lunga ma che forse semplifica un po' il numero dei casi da considerare.

Testo nascosto:

In pratica è come se ci venisse chiesto:
trovare $a,b,c$ numeri naturali per cui
$\begin{cases}
a^2 -336=b^2\\
b^2-336=c^2\\
\end{cases}$\\
Dalla seconda equazione si ricava $b^2 =c^2 +336$ da cui (per sostituzione nella prima equazione) si ricava che $a^2-336=c^2 +336$, ovvero $a^2-c^2=(a+c)(a-c)=672$.
A questo punto sottraiamo alla prima equazione la seconda, ricavando $2b^2=a^2 +c^2$, ovvero $b^2 =\frac{a^2 +c^2}{2}=(\frac{a+c}{2})^2+ (\frac{a-c}{2})^2$ con $\frac{a+c}{2}$ e $\frac{a-c}{2}$ naturali. Per la parametrizzazione delle terne pitagoriche (Nota: la parametrizzazione che segue vale anche per quelle non primitive) si ha che esistono dei numeri naturali $k$,$u$ e $v$ per cui $b=k\cdot(u^2 +v^2)$ e $\frac{a+c}{2}$ e $\frac{a-c}{2}$ sono in qualche ordine $k\cdot(u^2 -v^2)$ e $2kuv$. Da $4(\frac{a+c}{2})(\frac{a-c}{2})=(a+c)(a-c)=672$ si ricava $8k^2uv(u^2 -v^2)=672$ da cui $k^2uv(u^2-v^2)=84=2^2 \cdot 3\cdot 7$. Di conseguenza $k=1$ o $k=2$, ma per $k=2$ banalmente non ci sono soluzioni. Perciò $k=1$ e quindi a questo punto si vede subito che $u=2^2=4$ e $v=3$, da cui:
$\begin {cases}
b=u^2+v^2=4^2 +3^2=5^2=25\\
\frac{a+c}{2}=2uv=24\\
\frac{a-c}{2}=u^2-v^2=7
\end{cases}$
da cui $(a,b,c)=(31,25,17)$