Polinomi e congruenze?

[alicemgn]

Sia [math]p(x) un polinomio a coefficienti interi. Se [math]p(x) viene diviso per [math](x+2) dà come resto 4; se viene diviso per [math](x-2) dà come resto 8; se viene diviso per [math](x+3) il resto è 13. Sia quindi [math]r(x) il resto della divisione di [math]p(x) per [math](x-2)(x+2)(x+3). Quanto vale [math]r(20)?

Come si risolve? Che strategie bisogna adottare? Ho pensato alle congruenze ma non ho idea su come impostare il problema.

[Lasker]

$P(x)=Q(x)(x+2)(x-2)(x+3)+r(x)$, di che grado è $r(x)$ al massimo? Quanto valgono $r(-2), r(2), r(-3)$? E allora quale deve per forza essere $r(x)$?

[alicemgn]

Se [math]p(x) ha grado $ n $, allora [math]Q(x) ha grado $ n-3 $, mentre [math]r(x) ha grado massimo [math]n-2 giusto?
Quindi [math]r(2)=p(2), [math]r(-2)=p(-2) e [math]r(-3)=p(-3). E ora?

[Lasker]

No il grado di $r$ non è quello, riprova

[alicemgn]

Mm... Mannaggia
Se [math]p(x) ha grado $ n $ e divido per [math](x-2)(x+2)(x+3) che è di terzo grado posso dividere [math]p(x) fino al suo termine di grado 3... Quindi [math]r(x) ha grado massimo 2?

[matpro98]

Quindi [math]r(x) ha grado massimo 2?

Esatto!

[alicemgn]

Okay!! E adesso? Cosa mi serve sapere che [math]r(x) ha come grado massimo 2? Scusate ma non ho mai affrontato questo tipo di problemi, questi ragionamenti sono completamente nuovi per me

[matpro98]

Hai 3 valori vincolati... cerca il principio di identità dei polinomi

[Lasker]

Scrivi $r(x)=ax^2+bx+c$ e sostituisci valori di $x$ per ricavare $a,b,c$ con un sistema lineare 3x3

[alicemgn]

Ok. Provo:
So che:
[math]p(x)=(x+2)Q'(x)+4
[math]p(x)=(x-2)Q''(x)+8
[math]p(x)=(x+3)Q'''(x)+13
Quindi, [math]p(-2)=4, [math]p(2)=8, [math]p(-3)=13.
Perciò, se [math]p(x)=(x-2)(x+2)(x+3)Q(x)+r(x), per [math]x=2, - 2, - 3 segue che [math]r(2)=p(2)=8, [math]r(-2)=p(-2)=4, [math]r(-3)=p(-3)=13.
Quindi, avendo scoperto prima che [math]r(x)=ax^{2}+bx+c, metto a sistema le tre equazioni:
$
\begin{cases}
a(2)^{2}+b(2)+c=8 \\
a(-2)^{2}+b(-2)+c=4 \\
a(-3)^{2}+b(-3)+c=13\\
\end{cases}
$ = $ \begin{cases}
4a+2b+c=8\\
4a-2b+c=4\\
9a-3b+c=13\\
\end{cases} $
da cui ricavo [math]a=2, [math]b=1, [math]c=-2.
Perciò [math]r(x)=2x^{2}+x-2 e sostituendo, ricavo che [math]r(20)=2(20)^{2}+20-2=818.
Spero sia giusto

[matpro98]

Non ho controllato i conti numerici, ma il ragionamento è giusto

[alicemgn]

Ok, grazie mille! Giusto per curiosità, come potevo applicare il principio di identità dei polinomi?

[matpro98]

Esattamente in quel modo: $r$ è di secondo grado e hai 3 valori, quindi $r$ coincide con $2x^2+x-2$

[alicemgn]

Ah okay, grazie mille

[TeoricodeiNumeri]

Vi propongo un'altra maniera di vedere il problema. In pratica ci viene chiesto:
sia $p$ un polinomio a coefficienti interi. Sapendo che
$\begin{cases}
p\equiv 4 (\mod x+2)\\
p\equiv 8 (\mod x-2)\\
p\equiv 13 (\mod x+3)\\
\end{cases}$
e detto $r$ il resto di $p$ per $(x+2)(x-2)(x+3)$, determinare quanto vale $r(20)$.
Il fatto che $\mathbb{R}[x]$ sia un dominio d'integrità a ideali principali (conseguenza del fatto che è un dominio euclideo) proprio come $\mathbb{Z}$ ci permette di fare alcuni interessantissimi parallelismi fra polinomi e interi.
In particolare uno di questi che ha una potentissima applicazione in questo esercizio è proprio l'artistico $Teorema \hspace{1mm} cinese\hspace{1mm} del\hspace{1mm} resto$ che garantisce l'esistenza e unicità della soluzione di un qualsiasi sistema che verifichi determinate proprietà (non entro nello specifico), tra cui rientra banalmente il sistema di cui sopra.
La tecnica per affrontare questo problema è quindi molto standard: anzi, in questo caso, risulterà molto più semplice del caso cugino per gli interi.
Difatti la tecnica per affrontare questo problema è la seguente:
troviamo delle soluzioni particolari di
1)$(x-2)(x+3)b_1 +(x+2)j_1=4$;
2)$(x+2)(x+3)b_2 +(x-2)j_2 =8$;
3)$(x+2)(x-2)b_3 +(x+3)j_3=13$.
La somma $(x-2)(x+3)b_1 +(x+2)(x+3)b_2 +(x+2)(x-2)b_3$ ridotta $\mod (x+2)(x-2)(x+3)$ è il resto dalla divisione per $(x+2)(x-2)(x+3)$.
E' facile notare che ci sono soluzioni particolari in cui $b_1=-1$, $b_2=\frac{2}{5}$ e $b_3=\frac{13}{5}$ da cui
$r=-(x^2 +x-6)+\frac{2}{5}(x^2 +5x+6)+\frac{13}{5}(x^2 -4)$ da cui $r=2x^2 +x-2$ e quindi $r(20)=2(20)^2 +20-2=818$