Funzional-etilica

[Fenu]

Determinare tutte le $f : \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ tali che
$$f(x^2+y+f(y))=2y+f(x)^2.$$

[Leonhard Euler]

Testo nascosto:

Sia $ P(x,y) $ il predicato dell'equazione funzionale $ f(x^2+y+f(y))=2y+f(x)^2 $.
$ P(0,y) $$ \implies $$ f(y+f(y))=2y+f(0)^2 $
Da cui segue la bigettività di $ f $.
$ P(x,y)-P(-x,y) $$ \implies $$ f(x)^2=f(-x)^2 $
Da cui per certi $ x $ reali $ f(x)=f(-x) $ e per altri $ f(x)=-f(-x) $, tuttavia la bigettività della funzione comporta l'esclusione del caso $ f(x)=f(-x) $ se non per $ x=0 $. Pertanto $ f $ è dispari e $ f(0)=0 $.
$ P(x,0) $$ \implies $$ f(x^2)=f(x)^2 $
$ P(x,x^2) $$ \implies $$ f(2x^2+f(x^2))=2x^2+f(x)^2=2x^2+f(x^2) $
Ponendo $ z=2x^2+f(x^2) $, si ha $ f(z)=z $, con l'accortezza di notare che $ z $ debba essere reale non negativo, la disparità della funzione consente di concludere $ f(x)=x $ per ogni $ x $ reale. Sostituendo nel testo si vede come questa sia effettivamente soluzione.

[Fenu]

Ciao! Anzitutto grazie per la risposta, ma potresti spiegarmi perché la seconda riga implica la bigettività? ovviamente la suriettività, ma la iniettivita come te le garantisce? Quando la ho risolta, non so perchè, pensavo che la iniettività non fosse garantita pertanto ho avuto bisogno di altri passaggi..