Quadrettature sovrapposte

[LB]

Supponiamo di avere due fogli infiniti trasparenti quadrettati con quadrati di lato 1, che sovrapponiamo in modo casuale.
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<BR>Allora all\'interno di ogni quadretto del foglio sovrastante si vedranno uno o più quadretti di quello sottostante.
<BR>Quanti se ne possono intravedere al massimo all\'interno di un quadretto?
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<BR><!-- BBCode Start --><B>Generalizzazione</B><!-- BBCode End -->
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<BR>Il problema non risulta modificato se sostituiamo la quadrettatura del foglio sovrastante con un unico quadrato, che allora risulterà essere il quadrato 0 < x < 1, 0 < y < 1, a cui è applicata un\'isometria arbitraria: grazie a questa interpretazione possiamo tuttavia porre facilmente le domande seguenti, che generalizzano notevolmente il quesito precedente:
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<BR>Per ogni k intero, quali isometrie danno luogo ad esattamente k regioni della quadrettatura sottostante non disgiunte dal quadrato?
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<BR>Qual è la probabilità che il numero di regioni del foglio sotto che non sono disgiunte dal quadrato risulti essere k, per ogni k intero, considerando ogni isometria equiprobabile?
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<BR><!-- BBCode Start --><B>Ulteriore generalizzazione</B><!-- BBCode End -->
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<BR>Qual è la soluzione del problema precedente se:
<BR>- Sostituiamo il quadrato con un poligono regolare o cerchio di dimensioni arbitrarie?
<BR>- Sostituiamo la quadrettatura sottostante con altri tipi di riempimento? (esagoni, triangoli equilateri, ottagoni+quadrati, cerchi con centri su reticolo a rette perpendicolari, ecc.)
<BR>- Sostituiamo il piano con uno spazio n-dimensionale?
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: LB il 21-09-2003 21:03 ]