gara febbraio 2019

[vagnani]

ciao, mi stavo esercitando con le gare di febbraio 2019. In particolare, stavo facendo il problema 16:

"Sia ABC un triangolo isoscele su base BC e siano D, E punti sui lati AB, BC rispettivamente,
tali che che le rette DE e AC risultino parallele. Si consideri inoltre il punto F sulla retta DE
che si trova dalla parte opposta di D rispetto ad E ed `e tale che F E sia congruente ad AD.
Detto O il circocentro del triangolo BDE, dimostrare che i punti O, F, A, D giacciono su una
circonferenza."

non ci sono riuscito a dimostrarlo e sono passato alle soluzioni, ma sinceramente non capisco neanche quella. nella soluzione proposta dimostra la congruenza dei triangoli F EO e ADO (e quindi i corrispondenti angoli), ma subito conclude con "Dato che F ed A si trovano dalla stessa parte della retta
DO, questo mostra che il quadrilatero OF AD `e inscrivibile in una circonferenza". Secondo me è poco chiaro. Io avrei cercato di dimostrare che gli ang. opposti di OFAD sono supplementari. Boh non so, qualcuno mi può aiutare?

[Mattysal]

ciao, mi stavo esercitando con le gare di febbraio 2019. In particolare, stavo facendo il problema 16:

"Sia ABC un triangolo isoscele su base BC e siano D, E punti sui lati AB, BC rispettivamente,
tali che che le rette DE e AC risultino parallele. Si consideri inoltre il punto F sulla retta DE
che si trova dalla parte opposta di D rispetto ad E ed `e tale che F E sia congruente ad AD.
Detto O il circocentro del triangolo BDE, dimostrare che i punti O, F, A, D giacciono su una
circonferenza."

non ci sono riuscito a dimostrarlo e sono passato alle soluzioni, ma sinceramente non capisco neanche quella. nella soluzione proposta dimostra la congruenza dei triangoli F EO e ADO (e quindi i corrispondenti angoli), ma subito conclude con "Dato che F ed A si trovano dalla stessa parte della retta
DO, questo mostra che il quadrilatero OF AD `e inscrivibile in una circonferenza". Secondo me è poco chiaro. Io avrei cercato di dimostrare che gli ang. opposti di OFAD sono supplementari. Boh non so, qualcuno mi può aiutare?

Ciao! Io purtroppo in gara non sono riuscito a risolvere tale problema ma ho avuto la tua stessa idea fallendo miseramente. La ciclicità di un quadrilatero può essere anche dimostata diversamente. In questo caso dimostrando che [math]\widehat{DAO}=\widehat{DFO}.
Ti elenco i passaggi motivando tutto ciò che ho fatto, passo dopo passo, spero che sia chiaro.
Credo (?) che tu non abbia capito come dimostrare che [math]\widehat{ODA}=\widehat{FOE}.
Partiamo col dire che [math]\triangle{BDE} è isoscele in quanto [math]DE // AC e quindi sono ovviamente simili.\\
Per semplicità poniamo [math]\widehat{OED}=\beta.
Segue che [math]\widehat{OEF}=180^{\circ}-\beta.
Ma [math]\triangle{BDE} è isoscele quindi [math]DO è bisettrice di [math]\widehat{BDE}.
Notiamo che [math]\widehat{EDO}=\beta ([math]ODE è isoscele!} e quindi [math]\widehat{BDO}=\beta.\\
Segue quindi che [math]\widehat{ADO}=180-2\beta+\beta quindi i due triangoli sopra menzionati sono congruenti pertanto chiaramente [math]\widehat{DAO}=\widehat{DFO}

Edit: ho sbagliato un verbo

[vagnani]

ciao, mi stavo esercitando con le gare di febbraio 2019. In particolare, stavo facendo il problema 16:

"Sia ABC un triangolo isoscele su base BC e siano D, E punti sui lati AB, BC rispettivamente,
tali che che le rette DE e AC risultino parallele. Si consideri inoltre il punto F sulla retta DE
che si trova dalla parte opposta di D rispetto ad E ed `e tale che F E sia congruente ad AD.
Detto O il circocentro del triangolo BDE, dimostrare che i punti O, F, A, D giacciono su una
circonferenza."

non ci sono riuscito a dimostrarlo e sono passato alle soluzioni, ma sinceramente non capisco neanche quella. nella soluzione proposta dimostra la congruenza dei triangoli F EO e ADO (e quindi i corrispondenti angoli), ma subito conclude con "Dato che F ed A si trovano dalla stessa parte della retta
DO, questo mostra che il quadrilatero OF AD `e inscrivibile in una circonferenza". Secondo me è poco chiaro. Io avrei cercato di dimostrare che gli ang. opposti di OFAD sono supplementari. Boh non so, qualcuno mi può aiutare?

Ciao! Io purtroppo in gara non sono riuscito a risolvere tale problema ma ho avuto la tua stessa idea fallendo miseramente. La ciclicità di un quadrilatero può essere anche dimostata diversamente. In questo caso dimostrando che [math]\widehat{DAO}=\widehat{DFO}.
Ti elenco i passaggi motivando tutto ciò che ho fatto, passo dopo passo, spero che sia chiaro.
Credo (?) che tu non abbia capito come dimostrare che [math]\widehat{ODA}=\widehat{FOE}.
Partiamo col dire che [math]\triangle{BDE} è isoscele in quanto [math]DE // AC e quindi sono ovviamente simili.\\
Per semplicità poniamo [math]\widehat{OED}=\beta.
Segue che [math]\widehat{OEF}=180^{\circ}-\beta.
Ma [math]\triangle{BDE} è isoscele quindi [math]DO è bisettrice di [math]\widehat{BDE}.
Notiamo che [math]\widehat{EDO}=\beta ([math]ODE è isoscele!} e quindi [math]\widehat{BDO}=\beta.\\
Segue quindi che [math]\widehat{ADO}=180-2\beta+\beta quindi i due triangoli sopra menzionati sono congruenti pertanto chiaramente [math]\widehat{DAO}=\widehat{DFO}

Edit: ho sbagliato un verbo

grazie mille. più chiaro rispetto alla soluzione proposta. più che altro insistevo sul cercare di dimostrare la presenza di angoli supplementari, e non sapevo che ci fossero altre condizioni per l'inscrivibilità di un quadrilatero.

[Mattysal]

ciao, mi stavo esercitando con le gare di febbraio 2019. In particolare, stavo facendo il problema 16:

"Sia ABC un triangolo isoscele su base BC e siano D, E punti sui lati AB, BC rispettivamente,
tali che che le rette DE e AC risultino parallele. Si consideri inoltre il punto F sulla retta DE
che si trova dalla parte opposta di D rispetto ad E ed `e tale che F E sia congruente ad AD.
Detto O il circocentro del triangolo BDE, dimostrare che i punti O, F, A, D giacciono su una
circonferenza."

non ci sono riuscito a dimostrarlo e sono passato alle soluzioni, ma sinceramente non capisco neanche quella. nella soluzione proposta dimostra la congruenza dei triangoli F EO e ADO (e quindi i corrispondenti angoli), ma subito conclude con "Dato che F ed A si trovano dalla stessa parte della retta
DO, questo mostra che il quadrilatero OF AD `e inscrivibile in una circonferenza". Secondo me è poco chiaro. Io avrei cercato di dimostrare che gli ang. opposti di OFAD sono supplementari. Boh non so, qualcuno mi può aiutare?

Ciao! Io purtroppo in gara non sono riuscito a risolvere tale problema ma ho avuto la tua stessa idea fallendo miseramente. La ciclicità di un quadrilatero può essere anche dimostata diversamente. In questo caso dimostrando che [math]\widehat{DAO}=\widehat{DFO}.
Ti elenco i passaggi motivando tutto ciò che ho fatto, passo dopo passo, spero che sia chiaro.
Credo (?) che tu non abbia capito come dimostrare che [math]\widehat{ODA}=\widehat{FOE}.
Partiamo col dire che [math]\triangle{BDE} è isoscele in quanto [math]DE // AC e quindi sono ovviamente simili.\\
Per semplicità poniamo [math]\widehat{OED}=\beta.
Segue che [math]\widehat{OEF}=180^{\circ}-\beta.
Ma [math]\triangle{BDE} è isoscele quindi [math]DO è bisettrice di [math]\widehat{BDE}.
Notiamo che [math]\widehat{EDO}=\beta ([math]ODE è isoscele!} e quindi [math]\widehat{BDO}=\beta.\\
Segue quindi che [math]\widehat{ADO}=180-2\beta+\beta quindi i due triangoli sopra menzionati sono congruenti pertanto chiaramente [math]\widehat{DAO}=\widehat{DFO}

Edit: ho sbagliato un verbo

grazie mille. più chiaro rispetto alla soluzione proposta. più che altro insistevo sul cercare di dimostrare la presenza di angoli supplementari, e non sapevo che ci fossero altre condizioni per l'inscrivibilità di un quadrilatero.

Ottimo, allora ti allego qualche problema se ti va di fare pratica con le ciclicità .
Sono tutti fattibili, livello Febbraio o forse qualcuno anche più difficile. (in ordine presunto di difficoltà, ma sono una frana a metterli in ordine)

Problema 1

Testo nascosto:

Dato un triangolo [math]ABC dimostra che l’ortocentro [math]H è l’incentro del triangolo ortico (ossia il triangolo formato dai piedi delle bisettrici.

Problema 2

Testo nascosto:

Date due circonferenze [math]\Gamma_1, \Gamma_2 di centri [math]O_1,O_2, supponiamo che esse si intersechino in due punti [math]A, B. Tracciamo una retta [math]r che interseca [math]\Gamma_1 in [math]C \neq A e [math]\Gamma_2 in [math]D \neq A.
Le rette [math]CO_1 e [math]DO_2 si intersecano in [math]X. Dimostrare che [math]O_1, O_2, B, X sono conciclici.

Problema 3

Testo nascosto:

Sia Γ la circonferenza ex-inscritta al triangolo ABC opposta al vertice A. Sia [math]D il centro di [math]\Gamma e siano [math]E, F rispettivamente, i punti di tangenza di Γ con i prolungamenti dei lati AB ed AC. Sia J l’intersezione tra i segmenti BD ed EF.
Dimostrare che l’angolo [math]\widehat{CJB} è retto.

[Fenu]

Così, giusto perché il problema 1 me lo ricorda:
Sia $\bigtriangleup ABC$ un triangolo acutangolo e sia $AH$ altezza. Sia $K$ un punto su $AH$ e siano $X, Y$ le intersezioni di $CK, BK$ con $AB, AC$ rispettivamente. Dimostrare che $HK$ è bisettrice di $\angle XHY$.

[Kopernik]

Attenzione! In relazione al problema 1: il triangolo ortico (come dice il nome stesso) è formato dai piedi delle altezze e non dai piedi delle bisettrici.

[LudoP]

Testo nascosto:

Problema 2

Testo nascosto:

Date due circonferenze [math]\Gamma_1, \Gamma_2 di centri [math]O_1,O_2, supponiamo che esse si intersechino in due punti [math]A, B. Tracciamo una retta [math]r passante per A che interseca [math]\Gamma_1 in [math]C \neq A e [math]\Gamma_2 in [math]D \neq A.
Le rette [math]CO_1 e [math]DO_2 si intersecano in [math]X. Dimostrare che [math]O_1, O_2, B, X sono conciclici.

[Mattysal]

Sisi, vero
Scusate gli errori ma sono decisamente fuso in questo periodo

[Mattysal]

Ciao! Io purtroppo in gara non sono riuscito a risolvere tale problema ma ho avuto la tua stessa idea fallendo miseramente. La ciclicità di un quadrilatero può essere anche dimostata diversamente. In questo caso dimostrando che [math]\widehat{DAO}=\widehat{DFO}.
Ti elenco i passaggi motivando tutto ciò che ho fatto, passo dopo passo, spero che sia chiaro.
Credo (?) che tu non abbia capito come dimostrare che [math]\widehat{ODA}=\widehat{FOE}.
Partiamo col dire che [math]\triangle{BDE} è isoscele in quanto [math]DE // AC e quindi sono ovviamente simili.\\
Per semplicità poniamo [math]\widehat{OED}=\beta.
Segue che [math]\widehat{OEF}=180^{\circ}-\beta.
Ma [math]\triangle{BDE} è isoscele quindi [math]DO è bisettrice di [math]\widehat{BDE}.
Notiamo che [math]\widehat{EDO}=\beta ([math]ODE è isoscele!} e quindi [math]\widehat{BDO}=\beta.\\
Segue quindi che [math]\widehat{ADO}=180-2\beta+\beta quindi i due triangoli sopra menzionati sono congruenti pertanto chiaramente [math]\widehat{DAO}=\widehat{DFO}

Edit: ho sbagliato un verbo

grazie mille. più chiaro rispetto alla soluzione proposta. più che altro insistevo sul cercare di dimostrare la presenza di angoli supplementari, e non sapevo che ci fossero altre condizioni per l'inscrivibilità di un quadrilatero.

Ottimo, allora ti allego qualche problema se ti va di fare pratica con le ciclicità .
Sono tutti fattibili, livello Febbraio o forse qualcuno anche più difficile. (in ordine presunto di difficoltà, ma sono una frana a metterli in ordine)

Problema 1

Testo nascosto:

Dato un triangolo [math]ABC dimostra che l’ortocentro [math]H è l’incentro del triangolo ortico (ossia il triangolo formato dai piedi delle altezze.)

Problema 2

Testo nascosto:

Date due circonferenze [math]\Gamma_1, \Gamma_2 di centri [math]O_1,O_2, supponiamo che esse si intersechino in due punti [math]A, B. Tracciamo una retta [math]r passante per A che interseca [math]\Gamma_1 in [math]C \neq A e [math]\Gamma_2 in [math]D \neq A.
Le rette [math]CO_1 e [math]DO_2 si intersecano in [math]X. Dimostrare che [math]O_1, O_2, B, X sono conciclici.

Problema 3

Testo nascosto:

Sia Γ la circonferenza ex-inscritta al triangolo ABC opposta al vertice A. Sia [math]D il centro di [math]\Gamma e siano [math]E, F rispettivamente, i punti di tangenza di Γ con i prolungamenti dei lati AB ed AC. Sia J l’intersezione tra i segmenti BD ed EF.
Dimostrare che l’angolo [math]\widehat{CJB} è retto.

[fb02]

ciao, mi stavo esercitando con le gare di febbraio 2019. In particolare, stavo facendo il problema 16:

"Sia ABC un triangolo isoscele su base BC e siano D, E punti sui lati AB, BC rispettivamente,
tali che che le rette DE e AC risultino parallele. Si consideri inoltre il punto F sulla retta DE
che si trova dalla parte opposta di D rispetto ad E ed `e tale che F E sia congruente ad AD.
Detto O il circocentro del triangolo BDE, dimostrare che i punti O, F, A, D giacciono su una
circonferenza."

non ci sono riuscito a dimostrarlo e sono passato alle soluzioni, ma sinceramente non capisco neanche quella. nella soluzione proposta dimostra la congruenza dei triangoli F EO e ADO (e quindi i corrispondenti angoli), ma subito conclude con "Dato che F ed A si trovano dalla stessa parte della retta
DO, questo mostra che il quadrilatero OF AD `e inscrivibile in una circonferenza". Secondo me è poco chiaro. Io avrei cercato di dimostrare che gli ang. opposti di OFAD sono supplementari. Boh non so, qualcuno mi può aiutare?

Ciao! Io purtroppo in gara non sono riuscito a risolvere tale problema ma ho avuto la tua stessa idea fallendo miseramente. La ciclicità di un quadrilatero può essere anche dimostata diversamente. In questo caso dimostrando che [math]\widehat{DAO}=\widehat{DFO}.
Ti elenco i passaggi motivando tutto ciò che ho fatto, passo dopo passo, spero che sia chiaro.
Credo (?) che tu non abbia capito come dimostrare che [math]\widehat{ODA}=\widehat{FOE}.
Partiamo col dire che [math]\triangle{BDE} è isoscele in quanto [math]DE // AC e quindi sono ovviamente simili.\\
Per semplicità poniamo [math]\widehat{OED}=\beta.
Segue che [math]\widehat{OEF}=180^{\circ}-\beta.
Ma [math]\triangle{BDE} è isoscele quindi [math]DO è bisettrice di [math]\widehat{BDE}.
Notiamo che [math]\widehat{EDO}=\beta ([math]ODE è isoscele!} e quindi [math]\widehat{BDO}=\beta.\\
Segue quindi che [math]\widehat{ADO}=180-2\beta+\beta quindi i due triangoli sopra menzionati sono congruenti pertanto chiaramente [math]\widehat{DAO}=\widehat{DFO}

Edit: ho sbagliato un verbo

Perchè si può affermare che il quadrilatero sia inscrittibile in una circonferenza partendo dal fatto che DFO=DAO? Non bisogna dimostrare che gli angoli opposti siano supplementari?

[Mattysal]

Lemma
Dati due punti [math]A,B nel piano e altri due punti [math]C,D che stanno sullo stesso semipiano delimitato dalla retta [math]AB, [math]ABCD è ciclico se [math]\widehat{ACB}=\widehat{ADB}