Dimostrare che in un qualsiasi triangolo il
<BR>rapporto tra i raggi delle circonferenze
<BR>circoscritta e inscritta è maggiore-uguale
<BR>a 2.
<BR>
<BR>Esistono triangoli non equilateri
<BR>con lati a lunghezza intera aventi
<BR>un rapporto R/r anch\'esso intero ?
<BR>
<BR>
Ancora geometria
Moderatore: tutor
La prima parte non la so dimostrare!
<BR>Ma quella del triangolo equilatero è abbastanza facile:
<BR>
<BR>Indichiamo con R il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo equilatero, con r il raggio della circonferenza inscritta e con l il lato.
<BR>Sappiamo che R=l*radq(3)/3
<BR>si traccino le altezze del triangolo equilatero, che passano tutte per il centro della circonferenza inscritta (che coincide con quello della circonferenza circoscritta) e che saranno anche altezze e mediane: ne segue che unendo i punti di tangenza dei lati con la circonferenza inscritta si verrà a creare un ulteriore triangolo equilatero poiché i punti di tangenza sono anche punti medi dei lati e sappiamo che congiungendo i punti medi di un triangolo qualsiasi, il segmento creato sarà parallelo e uguale a 1/2 del lato opposto ad esso; pertanto il lato del nuovo triangolo equilatero sarà l/2 e quindi r=(l/2)*radq(3)/3
<BR>Costruendo il rapporto R/r si otterrà:
<BR> (l*radq(3)/3)/((l/2)*radq(3)/3)=2
<BR>quindi il rapporto R/r in un triangolo equilatero sarà sempre intero. CVD
<BR> Luca M.
<BR>
<BR>Ciao! <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>Ps: la prima parte credo che sia qualcosa relativa alla trigonometria perché se l\'angolo più piccolo di un triangolo è minore o uguale a 60° allora R>=l*radq(3)/3 e r>=(l/2)*radq(3)/3 da cui R/r>=2 ma non so come si dimostri! <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon27.gif"> <BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Luke04L il 2002-02-28 14:45 ]</font>
<BR>Ma quella del triangolo equilatero è abbastanza facile:
<BR>
<BR>Indichiamo con R il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo equilatero, con r il raggio della circonferenza inscritta e con l il lato.
<BR>Sappiamo che R=l*radq(3)/3
<BR>si traccino le altezze del triangolo equilatero, che passano tutte per il centro della circonferenza inscritta (che coincide con quello della circonferenza circoscritta) e che saranno anche altezze e mediane: ne segue che unendo i punti di tangenza dei lati con la circonferenza inscritta si verrà a creare un ulteriore triangolo equilatero poiché i punti di tangenza sono anche punti medi dei lati e sappiamo che congiungendo i punti medi di un triangolo qualsiasi, il segmento creato sarà parallelo e uguale a 1/2 del lato opposto ad esso; pertanto il lato del nuovo triangolo equilatero sarà l/2 e quindi r=(l/2)*radq(3)/3
<BR>Costruendo il rapporto R/r si otterrà:
<BR> (l*radq(3)/3)/((l/2)*radq(3)/3)=2
<BR>quindi il rapporto R/r in un triangolo equilatero sarà sempre intero. CVD
<BR> Luca M.
<BR>
<BR>Ciao! <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>Ps: la prima parte credo che sia qualcosa relativa alla trigonometria perché se l\'angolo più piccolo di un triangolo è minore o uguale a 60° allora R>=l*radq(3)/3 e r>=(l/2)*radq(3)/3 da cui R/r>=2 ma non so come si dimostri! <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon27.gif"> <BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Luke04L il 2002-02-28 14:45 ]</font>
Luca M.
Per la prima parte non serve strettamente
<BR>trigonometria, diciamo che serve solo
<BR>a impostare la struttura... poi si procede
<BR>a dimostrare la disuguaglianza con metodi
<BR>puramente algebrici... un consiglio ?
<BR>Esprimi R e r in funzione delle lunghezze dei
<BR>lati del tuo triangolo generico...
<BR>
<BR>Per la seconda parte ti chiedevo se
<BR>esistono triangoli NON EQUILATERI
<BR>con lati e (R/r) interi...
<BR>
<BR>trigonometria, diciamo che serve solo
<BR>a impostare la struttura... poi si procede
<BR>a dimostrare la disuguaglianza con metodi
<BR>puramente algebrici... un consiglio ?
<BR>Esprimi R e r in funzione delle lunghezze dei
<BR>lati del tuo triangolo generico...
<BR>
<BR>Per la seconda parte ti chiedevo se
<BR>esistono triangoli NON EQUILATERI
<BR>con lati e (R/r) interi...
<BR>
per ogni triangolo equilatero il rapporto R/r è =2 perchè:
<BR>-assi,bisettrici e mediane coincidono e si incontrano nello stesso punto
<BR>-una mediana si divide in due parti una il doppio dell\'altra( la più grande coincide con R la più piccola con r.)
<BR>
<BR>detto questo si dimostra che per ogni triangolo di area A il triangolo equilatero ha rapporto R/r minimo, infatti:
<BR>1) R del triangolo equilatero è sempre minore , perchè dal teorema \"fra tutti gli n-goni inscritti in un dato cerchio l\'n-gono regolare ha area masima\" segue che \"fra tutti i triangoli di data area quello equilatero è inscritto nella circonferenza più piccola
<BR>2) r del triangolo equilatero è sempre maggiore perchè:
<BR>-area (costante) = 1/2 perimetro x apotema
<BR>-\"fra tutti i triangoli di data area quello equilatero ha perimetro minimo\"
<BR>...e se il perimetro è minimo l\'apotema(r) è massima
<BR>quindi il minimo rapporto R/r è proprio quello del triangolo equilatero,cioè 2
<BR>
<BR>-assi,bisettrici e mediane coincidono e si incontrano nello stesso punto
<BR>-una mediana si divide in due parti una il doppio dell\'altra( la più grande coincide con R la più piccola con r.)
<BR>
<BR>detto questo si dimostra che per ogni triangolo di area A il triangolo equilatero ha rapporto R/r minimo, infatti:
<BR>1) R del triangolo equilatero è sempre minore , perchè dal teorema \"fra tutti gli n-goni inscritti in un dato cerchio l\'n-gono regolare ha area masima\" segue che \"fra tutti i triangoli di data area quello equilatero è inscritto nella circonferenza più piccola
<BR>2) r del triangolo equilatero è sempre maggiore perchè:
<BR>-area (costante) = 1/2 perimetro x apotema
<BR>-\"fra tutti i triangoli di data area quello equilatero ha perimetro minimo\"
<BR>...e se il perimetro è minimo l\'apotema(r) è massima
<BR>quindi il minimo rapporto R/r è proprio quello del triangolo equilatero,cioè 2
<BR>
Ultimo problema pre-Cesenatico: speriamo che sia propiziatorio.
<BR>a,b,c: lati S: area 2p: perimetro
<BR>
<BR>R=abc/4S, r=2S/a+b+c
<BR>R/r=abc(a+b+c)/8S²=
<BR>= abc(2p)/8p(p-a)(p-b)(p-c)=
<BR>=abc/4(p-a)(p-b)(p-c)=
<BR>2abc/(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
<BR>
<BR>Ora, condizione necessaria e sufficiente affinchè tre numeri a,b,c posssano essere le lunghezze dei lati di un triangolo è che
<BR>siano esprimibili nel seguente modo:
<BR>a=x+y, b=y+z, c=x+z con x,y,z reali positivi.
<BR>
<BR>Sostituendo e applicando una a caso delle tante disugualglianze (tra medie o anche altre) esistenti viene fuori la tesi.
<BR>
<BR>Buona fortuna
<BR>a,b,c: lati S: area 2p: perimetro
<BR>
<BR>R=abc/4S, r=2S/a+b+c
<BR>R/r=abc(a+b+c)/8S²=
<BR>= abc(2p)/8p(p-a)(p-b)(p-c)=
<BR>=abc/4(p-a)(p-b)(p-c)=
<BR>2abc/(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
<BR>
<BR>Ora, condizione necessaria e sufficiente affinchè tre numeri a,b,c posssano essere le lunghezze dei lati di un triangolo è che
<BR>siano esprimibili nel seguente modo:
<BR>a=x+y, b=y+z, c=x+z con x,y,z reali positivi.
<BR>
<BR>Sostituendo e applicando una a caso delle tante disugualglianze (tra medie o anche altre) esistenti viene fuori la tesi.
<BR>
<BR>Buona fortuna