Successione per ricorrenza

[dalferro11]

Ciao a tutti!!
Problema:
Quale é la forma chiusa della seguente successione definita per ricorrenza?

G(n+2) = 2G(n) + G(n+1) - 6

Il - 6 é obbligatorio

[fph]

Giusto per sapere da dove partire, sai già come si trovano le soluzioni di $G(n+2) = 2G(n) + G(n+1)$, senza il $-6$?

[dalferro11]

Si certo.
Mi sono dimenticato di scrivere le condizioni iniziali:
G(0)=4
G(1)=4

[valebadda]

Prova a creare una sequenza che differisce di una costante: K_n = G_n + c e scegli la costante adatta per renderla una del tipo spiegato da fph. Per tornare alla sequenza originale, ti basterà togliere la costante.

[dalferro11]

Dunque. Io l'ho risolto così.
Prima ho determinato la forma chiusa senza il termine
-6.
Poi ho costruito la sequenza di numeri con questa forma chiusa e l'ho confrontata con quella originale calcolando la sequenza delle differenze fino a trovarne la legge e quindi aggiungendola alla successione originale. Mi viene una funzione esponenziale aggiunta ad una funzione quadratica con la variabile n>=2
Credo fosse l'idea anche di fph. Qualche altra soluzione?

[fph]

Esatto, la tecnica "standard" è quella. Se vuoi una soluzione diversa, puoi ragionare così: la funzione $H(n) = 2G(n) + G(n+1) - G(n+2)$ è costantemente uguale a $6$; quindi in particolare soddisfa $H(n+1) = H(n)$, cioè $2G(n+1) + G(n+2) - G(n+3) = 2G(n) + G(n+1) - G(n+2)$, e questa è una successione per ricorrenza lineare (di ordine 3) senza termini noti.

[dalferro11]

... Interessante fph!!
grazie la tua soluzione é piú elegante.
Ti faccio una domanda per chiarezza

Solo il fatto che H(n+1)=H(n) non garantisce che entrambe siano uguale a - 6, oppure é sufficiente notare che devo avere 3 condizioni iniziali?
H(0)=4
H(1) =4
H(2) =6

[fph]

Esatto, ti servono 3 condizioni iniziali per $G$ (non $H$): se hai $G(0)$, $G(1)$, $G(2)$ allora anche $2G(n) + G(n+1) - G(n+2)$ è fissato.

[dalferro11]

Grazie.