problemino sulla teoria dei numeri...

[Simo_the_wolf]

Dimostrare che dato un qualunque insieme di numeri naturali x_1, x_2, x_3 ...x_n diversi tra loro esiste una n-upla di numeri interi z_1, z_2 ... z_n tale che:
<BR>
<BR>mcm(x_1,x_2...x_n)*sum(i=1 a n)[z_i/x_i]=1

[Simo_the_wolf]

per ogni i z_i < a_i<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 02-10-2003 21:06 ]

[talpuz]

carino!
<BR>dunque:
<BR>esplicitiamo la sommatoria e facciamo denominat comune
<BR>mcm(x_1...x_n)*[z_1(x_2...x_n)+...+z_n(x_1...x_n-1)]/x_1*...*x_n=1
<BR>dividendo x il numeratore della frazione e invertendo il tutto si ha
<BR>x_1*...*x_n/mcm(x_1...x_n)=z_1(x_2...x_n)+...+z_n(x_1...x_n-1) (1)
<BR>ora, poniamo x_1*...*x_n/mcm(x_1...x_n)=k
<BR>e y_i=prod[j=/=i]x_j
<BR>la (1) diventa z_1*y_1+...+z_n*y_n=k
<BR>a questo punto notiamo che k=MCD(y_1...y_n)
<BR>infatti in k compaiono tutti i numeri che compaiono nella fattorizzazione di due o più degli x_i
<BR>sia m uno di tali numeri, e compaia in n degli x_i
<BR>allora m compare con esponente n-1 in k
<BR>inoltre, anche nei vari y_i m compare con esponente minimo n-1 (in quanto in ogni prodotto manca al più uno degli x_i in cui m compare)
<BR>quindi m^n-1 compare anche nel MCD degli y_i
<BR>iterando il ragionamento si ottiene che k=MCD(y_1...y_n)
<BR>a questo punto l\'identità di bezout assicura l\'esistenza degli z_i appartenenti a Z
<BR>bye