Tor vergata meno old

[razorbeard]

Per un certo polinomio $P$ vale la seguente proprietà : $P(n + 2) + P(n) = n^4 + 2$ per ogni intero positivo $n$. Quanto vale $P(10)$?

[Maionsss]

Quanto deve valere il grado di $P$ ? Una volta capito quello sistemi i coefficienti ricordandoti del principio di identitá

[matpro98]

puoi capirlo da te

[razorbeard]

In che modo? Avevo iniziato impostando dei sistemi con $P(1)$,$P(2)$, ecc... ma poi mi sono arenato

[matpro98]

cosa succede al grado del polinomio al primo membro? e al secondo membro? cosa concludi?

[Fede:)]

Non so se sia giusta perché non ho usato il fatto che n è un intero positivo.

Testo nascosto:

[math] P(x)=ax^k+...+c , mettendo nella condizione del testo e considerando i termini di grado massimo ottengo [math] a(n+2)^k+...+an^k+...=an^k+...+an^k+...=n^4+2 quindi per il principio di identità tra polinomi ho [math] 2an^k=n^4 quindi [math]a=1/2 e [math]k=4 quindi il polinomio ha grado 4 e coefficiente direttore 1/2.
Considero ora i termini noti [math] 1/2*2^4+c+c=2 da cui [math] c=-3. Ma il termine noto c è uguale a [math]P(0) quindi partendo da [math] P(0)=-3 con un po' di conti arrivo a [math]P(10).

[matpro98]

beh, hai usato quell'ipotesi (con il "per ogni" davanti) quando hai applicato il principio di identità direi che va bene come soluzione

[fph]

Il passaggio delicato, insomma, è questo: se due polinomi $P(x)$ e $Q(x)$ assumono valori uguali quando vengono valutati in un numero infinito di valori (per esempio, appunto, $n=1,2,3,\dots$), allora sono uguali coefficiente per coefficiente. In una gara a squadre non serve scriverlo, ma è utile comunque avere in testa che sta succedendo, specialmente per rispondersi alla domanda "dove sto usando questa ipotesi sugli interi positivi".

[Gottinger95]

Potrebbe infatti sembrarti che tu abbia usato solo l'ipotesi per $n=0,2,4,6,8$, ma l'hai usata per tutti gli $n$ (come ti fa notare fph)! Infatti...

Testo nascosto:

Considera un polinomio $R(x)$ che fa $+43$ su $0,4,8$ e $-43$ su $2,6,10$. In particolare, $R(n)+R(n+2) = 0$ per $n=0,2,4,6,8$. Ora il polinomio $ Q(x) = P(x) +R(x)$ avrà la proprietà che $$[Q(n) + Q(n+2) ] = [P(n) + P(n+2) ]+[R(n)+R(n+2)] = [P(n)+P(n+2)] = n^4+2$$
per ogni $n=0,2,4,6,8$, ma $$ Q(10) = P(10) + R(10) = P(10)-43 $$
dà un risultato diverso!! Quindi sì, anche se non te ne sei accorta hai usato eccome l'ipotesi per tutti gli $n$