Problema INDAM

[matte1409]

Spero di scrivere nel posto giusto ahaha. Il problema chiede : Simone ha 15 cilindri tutti di peso diverso. Ciascuno dei cilindri è la metà di un altro cilindro ad eccezione di uno , il più pesante. Durante il trasloco Simone perde alcuni cilindri e il loro peso complessivo equivale a 1/7 del peso totale iniziale. Quanti cilindri ha perso? Se potete darmi una mano plss

[PIELEO13]

Ciao Matte. Il problema non è di combinatoria, ma no problem. Per risolvere il seguente problema bisogna ricordare i seguenti due fatti.

FATTO 1:
[math] x^n + x^{n-1} + \dots + x + 1 = \frac{x^{n+1} - 1}{x-1} con [math]n \in \mathbb{N}

FATTO 2:
Ogni numero intero positivo [math]m si scrive in maniera unica nella forma [math]m = a_0 \cdot 1 + a_1\cdot 2 + a_2 \cdot 2^2 + \dots a_n \cdot 2^n + \dots dove gli [math]a_i sono tutti nulli tranne al più un numero finito di loro che valgono uno.
Ad esempio [math]89 = 1\cdot 2^6 + 1\cdot2^4 + 1\cdot2^3 +1\cdot1 e questo è l'unico modo in cui si può scrivere come somma di potenze di 2 moltiplicate per 1 o 0.
Questa è l'unicità della rappresentazione in base 2.

Torniamo alla domanda che hai fatto.
I cilindri di Simone pesano [math]l \,, [math] 2\cdot l, [math] \dots 2^{14}\cdot l, dove [math]l è una quantità che non ci interessa.
Allora il peso complessivo dei cilindri per il FATTO 1 è [math](2^{15} - 1)\cdot l. Ne perde alcuni e quindi i rimanenti pesano [math]\frac{(2^{15} - 1)}{7}\cdot l = 4681\cdot l .
A questo punto grazie al FATTO 2 sei sicuro che 4681 si scrive in modo unico come somma di potenze di 2 che corrispondono ai cilindri rimanenti e hai concluso.

[fph]

[Mod: non so bene se spostare in algebra o matematica ricreativa, ma ho scelto il primo]

[matte1409]

Ah perfetto grazie mille

[RichardIII]

Prego!