Disuguaglianze e fattoriali

[Maus]

e, al ritorno da Cesenatico...
<BR>
<BR>Sia a_1, a_2,...,a_n una sequenza di interi non negativi, e n è intero positivo.Sia A_n=(a_1+a_2+...+a_n)/n. dimostrare che a_1!a_2!...a_n!>=(|A_n|!)^n, dove con |A_n| si intende il più grande intero minore o uguale ad A_n. Per quali valori si ha l\'uguaglianza?
<BR>
<BR>
<BR>da Asian Pacific Mathematics Olympiad 2002.
<BR>
<BR>

[jack202]

Se x=y+2
<BR>
<BR>x! y! > [((x+y)/2)!]^2
<BR>
<BR>infatti dividendo per (x!)^2 si ha
<BR>x(x-1) > (x-1)^2
<BR>
<BR>Se x=y+4 poniamo z=x+2
<BR>
<BR>x! z! > [(x+1)!]^2
<BR>z! y! > [(x+3)!]^2
<BR>
<BR>dunque
<BR>
<BR>x! z!^2 y! > [(x+1)!(x+3)!]^2 > z!^4
<BR>
<BR>cioè
<BR>
<BR>x! z! y! > (z!)^3
<BR>
<BR>generalizzando è facile dimostrare la
<BR>disuguaglianza per a_j elemento di
<BR>una successione tale che
<BR>
<BR>a_j = a_(j-1) + 2k
<BR>
<BR>e poi estendere il tutto a un qualsiasi
<BR>set di a_j interi, e, perchè no, reali...
<BR>A voi la formalizzazione !
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<BR>