Metodo visivo per capire il triangolo di Tartaglia

[piergiovanni.demi]

Notavo che la spiegazione del coefficiente binomiale legato al triangolo di Tartaglia non è molto intuitiva.
Ho cercato un po' su Internet e non trovando nulla di visivo, avrei pensato a questa spiegazione che mi pare più semplice e intuitiva, cioè utilizzare le stringhe anzichè gli insiemi e quindi usando le permutazioni con ripetizioni anzichè le combinazioni semplici.
Infatti le stringhe che nascono dai vari binomi sono le stesse delle permutazioni con ripetizione.
Intanto dal punto di vista matematico è semplice verificare che C(n,m)=P’(n,m,n-m) cioè le permutazioni con ripetizioni di 2 elementi (a,b) che sono i termini del binomio.
Passiamo al triangolo di Tartaglia

1 (a+b)0
1 1
a b (a+b)1=a+b
1 2 1
P’(2,2,0) (a,a) P’(2,1,1) (a,b)
aa ab bb (a+b)2=(a+b)*(a+b)=aa+ab+ba+bb
ba
1 3 3 1
P’(3,2,1) (a,a,b) P’(3,1,2) (a,b,b)
aaa aab abb bbb (a+b)3=(a+b)*(a+b)2=aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb
aba bab
baa bba

Si noti come per formare le stringhe con 2 ripetizioni di a e 1 ripetizione di b, P’(3,2,1), è sufficiente apportare una giustapposizione alla riga precedente alle stringhe di colonna 1 P(2,2,0) giustapponendo una b (ottengo baa) e alla colonna 2 P’(2,1,1) giustapponendo una a (ottengo aab e aba).

Abbiamo spiegato visivamamente perchè p’(n,m,n-m)=p’(n-1,m,m-n-1)+p’(n-1,m-1,n-m) che sappiamo anche essere equivalente a
c(n,m)=c(n-1,m)+c(n-1,m-1) .

Credo che sia facile anche dimostrarlo per ogni n,m ma non sono un matematico .....

In sintesi le sequenze di
P’(n,m, n-m)=c(n,m) dove m sono le a e n-m le b si ottengono giustapponendo a alle sequenze di c(n-1,m) e b alle sequenze di c(n-1,m-1).


Datemi un vostro parere su questo approccio.

Piergiovanni Demi

[piergiovanni.demi]

Aggiungo immagine triangolo tartaglia con stringhe del binomio