Aree quasi prime - Staffetta #2

[Wxrvyn]

Con grande piacere ecco qui il secondo problema di questa staffetta pre-cesenatico:

È dato un triangolo rettangolo con i lati di lunghezza intera la cui area è il triplo di un numero primo $p$.
Quanto può valere $p$?

[Stef2008]

Soluzione (scritta in modo molto sintetico con pochi dettagli)

Testo nascosto:

Dalle ipotesi i tre lati sono una terna pitagorica. È noto che tutte le terne pitagoriche si possono scrivere come $(2mnd, (m^2-n^2)d,(m^2+n^2)d)$ con $m,n,d \in \mathbb{N}$ e $m > n > 0$ e $d > 0$. Dall'ipotesi sull'area abbiamo che $2mn(m^2-n^2)d^2=6p \implies mn(m^2-n^2)d^2=3p$ con $p$ numero primo. Con facili passaggi algebrici abbiamo $mn(m-n)(m+n) d^2= 3p$. Dato che RHS dell'uguaglianza ha solo due fattori primi lo stesso deve valere per LHS, quindi al più due dei fattori del prodotto possono essere diversi da $1$. Ma dato che $m+n > m - n$ e $m > n$, si deve avere $n = 1$ e $m - n =1 \implies m = 2$. Inoltre dato che $m + n$ e $m$ sono maggiori di 1 per quanto osservato si deve avete $d=1$. Questo ci dà il triangolo rettangolo $(4,3,5)$ che è effettivamente soluzione ( $\text{Area}=\frac{4 \cdot 3}{2}=6$ che è prodotto di un primo, 2, per 3). Quindi l'unica soluzione è $p = 2$.

[rspttr]

Soluzione del secondo problema (rapida)

[wjude]

Ecco la mia sol

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[Annalena]

inbound8620689710946779102.jpg (510.28 KiB) Visto 2702 volte