Ciao!
<BR>Mentre facevo un semplicissimo prob. di teoria dei numeri mi sono venute in mente dei problemi:
<BR>a) se una sfera ha centro a coordinate intere pari a numeri consecutivi e raggio intero, quando è che interseca la retta x=y=z in un punto a coordinate intere?
<BR>b) una circonferenza generica di raggio intero n contiene m punti a coordinate intere. Qual è il massimo del rapporto m/n?
<BR>c) generalizzare la b) per una ipersfera (o ipercirconferenza, se vogliamo chiamarla così) a n dimensioni.
<BR>
<BR>Li ho scritti in ordine di difficoltà...
<BR>Buon divertimento..!
<BR>Mircea <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_biggrin.gif">
Sfera intera
Moderatore: tutor
a) Mai.
<BR>una sfera di raggio r e centro (a,b,c) ha equazione
<BR>x^2+y^2+z^2-2(ax+by+cz)+a^2+b^2+c^2=r^2
<BR>Sostituendo y=x, z=x, b=a+1, c=a+2 (l\'equazione è simmetrica in x, y e z, quindi possiamo supporre WLOG a < b < c), si ottiene:
<BR>3x^2-2(3a+3)x+3a^2+6a+5-r^2=0
<BR>che ha soluzioni intere se il semisemidiscriminante è un quadrato, cioè deve essere un quadrato 9a^2+18a+9-9a^2-18a-15+r^2=r^2-6, che non è possibile perché la differenza di due quadrati è la somma di un po\' di numeri dispari consecutivi, e 6 non si può esprimere in quel modo<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DD il 2002-05-06 14:16 ]</font>
<BR>una sfera di raggio r e centro (a,b,c) ha equazione
<BR>x^2+y^2+z^2-2(ax+by+cz)+a^2+b^2+c^2=r^2
<BR>Sostituendo y=x, z=x, b=a+1, c=a+2 (l\'equazione è simmetrica in x, y e z, quindi possiamo supporre WLOG a < b < c), si ottiene:
<BR>3x^2-2(3a+3)x+3a^2+6a+5-r^2=0
<BR>che ha soluzioni intere se il semisemidiscriminante è un quadrato, cioè deve essere un quadrato 9a^2+18a+9-9a^2-18a-15+r^2=r^2-6, che non è possibile perché la differenza di due quadrati è la somma di un po\' di numeri dispari consecutivi, e 6 non si può esprimere in quel modo<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DD il 2002-05-06 14:16 ]</font>
[img:2sazto6b]http://digilander.iol.it/daniel349/boy_math_md_wht.gif[/img:2sazto6b]
b) e c) per \"contiene\" intendi solo i punti SULLA (iper)circonferenza, solo quelli al suo interno, o entrambi? Negli ultimi due casi m/n diverge perché il numero di punti a coordinate intere è dato da un polinomio di grado 2 (3,4,5...), perché i punti si trovano su una superficie. E\' più interessante allora trovare il massimo del rapporto m/n^2 ovvero m/n^d, dove d è il numero di dimensioni della circonferenza (intuitivamente la (iper)circonferenza di raggio 1 e centro in O)
[img:2sazto6b]http://digilander.iol.it/daniel349/boy_math_md_wht.gif[/img:2sazto6b]
b) Congetturiamo che tra tutte le circonferenze di raggio dato quella con m/n massimo è quella di centro O (non dovrebbe essere troppo difficile da dimostrare, ma in questo momento non ne ho voglia). La circonferenza di centro O e raggio n ha equazione x^2+y^2=n^2. Sostituiamo y=n-k (-n <= k <= n), e otteniamo x^2-2nk+k^2=0, ovvero 2nk-k^2 è un quadrato perfetto. Per ogni circonferenza con centro in O abbiamo 4 punti a coordinate intere sulle intersezioni con gli assi, + al più 2*2*(n-1) altri punti in corrispondenza degli altri 2(n-1) valori da assegnare a k. Dunque m/n <= (4+2*2(n-1))/n=4. Ora possiamo porre k=n-1 e ottenere 2nk-k^2=n^2-1, che per n > 1 non è un quadrato perfetto, quindi per n > 1, m/n < 4, mentre per n=1 abbiamo ovviamente m=4=m/n.
<BR>c) Senza troppe formalità, per l\'ipercirconferenza di centro O e raggio 1 si ha m/n=2d, mentre ogni altra ipercirconferenza può essere sezionata con un piano orizzontale in modo da trovare qualche punto con tutte le coordinate intere tranne una, il che impedisce di raggiungere il max di m/n.
<BR>c) Senza troppe formalità, per l\'ipercirconferenza di centro O e raggio 1 si ha m/n=2d, mentre ogni altra ipercirconferenza può essere sezionata con un piano orizzontale in modo da trovare qualche punto con tutte le coordinate intere tranne una, il che impedisce di raggiungere il max di m/n.
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