Problema corto ma difficile forse più di geometria

[nuoveolimpiadi1999]

Rosi ha un giardino triangolare in cui un angolo è il doppio di un altro, mentre il terzo è un angolo ottuso. La misura dei tre lati è data da un numero intero di metri.
Qual è, al minimo, il perimetro del giardino di Rosi?



Fornire spiegazione risolutiva, mi raccomando che sia chiara grazie!

[gpzes]

Testo nascosto:

tri.png (46.3 KiB) Visto 4435 volte

$a(a+c)={{b}^{2}}$

[gpzes]

Supponendo che tale triangolo esista possiamo limitarci al caso in cui le lunghezze dei lati siano quantità prime fra loro, ossia $\gcd \left( a,b,c \right)=1$. Inoltre, essendo un triangolo, ad angolo maggiore si oppone lato maggiore e posso supporre $a\le b\le c$.
Tracciata BE bisettrice dell’angolo B ottengo due triangoli simili ABC e EBC.
Ma allora $\frac{a}{b}=\frac{BE}{c}=\frac{b-BE}{a}$ e da qui si ricava $a(a+c)={{b}^{2}}$ (*), ossia la condizione affinché ci sia un angolo doppio.
La relazione (*) penso possa essere studiata in vari modi (e.g. sostituzione di Ravi) ,
cosa che non ho fatto .
Comunque sia bisogna sempre tenere conto delle disuguaglianze triangolari ($c\le a+b$).
L’approccio che ho usato è stato questo.
Poiché $\gcd \left( a,b,c \right)=1$, i fattori in LHS di (*) devono essere primi fra loro.
Allora esistono numeri naturali tali che $a={{m}^{2}},a+c={{n}^{2}}$ , ossia $\left\{ \begin{align}
& a={{m}^{2}} \\
& b=m\cdot n \\
& c={{n}^{2}}-{{m}^{2}} \\
\end{align} \right.$,
con $\gcd \left( m,n \right)=1,\quad m<n<2m$.
Supponendo di non avere sbagliato i conti avevo trovato minimo per m=5 e n=9.

[gpzes]

...e $3\cdot {{m}^{2}}<{{n}^{2}}$ per essere triangolo ottuso $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}<{{c}^{2}} \right)$.

[LucaRR]

Sarò sicuramente stupido, ma facendo i conti a me viene un perimetro di 77 (rispettivamente 16 - 28 - 33): con un angolo ottuso di circa 93,13 gradi, e gli altri due rispettivamente di circa 28,96 e 57,91 gradi.

Metodo in sintesi:
i) grazie al Teorema dei seni ottengo la misura di ogni lato in funzione del seno e coseno dell’angolo minore [math]\alpha e del lato ad esso opposto che indicherò come [math]\overline{AB}=a\in\mathbb{N};
ii) banali considerazioni sul coseno di [math]\alpha, portano a dire che (sulla base delle relazioni ricavate al punto precedente) esso deve essere razionale con: [math]\frac{\sqrt{3}}{2}<\cos\alpha<1;
iii) ora, supposto [math]\cos\alpha=\frac{n}{n+1}, segue [math]n=7 come più piccolo numero intero per cui vale la relazione cercata;
iv) a questo punto si conclude con [math]a =16, quale valore minimo per avere le tre misure dei lati intere.

...ma come detto probabilmente sbaglio, visto che sono una schiappa in matematica.

Ciao a tutti.