Problema staffetta #6

[dario21]

In un triangolo acutangolo $\triangle ABC$ sia $M$ il punto medio di $BC$ e sia $P$ il piede dell'altezza ad $AM$ per $C$. Sia ora $Q$ la seconda intersezione della circonferenza circoscritta a $\triangle APB$ con $BC$ e infine sia $N$ il punto medio di $AQ$. Dimostrare che $NB=NC$

[Max Iorio]

Ecco la mia dimostrazione:

Testo nascosto:

Si tracci il segmento $AR \perp BC$ con $R \in BC$.
I triangoli $\triangle MRA$ e $\triangle CPM$ sono simili poiché $\angle MRA = \angle CPM = \frac{\pi}{2}$ e $\angle AMC$ è in comune, per cui $ MA:MC=MR:MP $.
Considerando $M$ e la circonferenza passante per $B$, $Q$, $P$, $A$, per il teorema delle secanti: $MA:MB=MQ:MP$. Poiché $MB=MC$ si ha che $MA:MC=MQ:MP$.
Eguagliando i secondi membri delle due proporzioni, si ottiene che $MR=MQ$.
Nel triangolo $\triangle QRA$, $M$ e $N$ sono i punti medi di $QR$ e $QA$, per cui $MN \parallel AR$ e ciò implica $MN \perp\ BC$
Poiché $MB=MC$ e $MN \perp BC$, segue che $MN$ è asse di $BC$, da cui $NB=NC$.