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Un po' di geometria con i cerchi
Un po' di geometria con i cerchi
Osserva la figura e dimostra che $TR=QS$. (si disegna la circonferenza di diametro AB e, tra A e B, si pone un punto qualsiasi P, poi si disegnano le altre 2 circonferenze)
Re: Un po' di geometria con i cerchi
Chiamo ordinatamente O,L,M,N i punti medi di BA,TR RQ,QS e dimostro che le rette LB,MO,NA sono parallele: infatti sono tutte tre perpendicolari a TS perché congiungono il punto medio di una corda col centro della sua circonferenza.
In un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti uguali su una di esse corrispondono segmenti uguali sull'altra, quindi a BO=OA corrispondono LM=MN. Inoltre M è il punto medio di RQ, quindi
LR=LM-RM=MN-MQ=QN
Concludo con
TR=2 LR=2 QN=QS
In un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti uguali su una di esse corrispondono segmenti uguali sull'altra, quindi a BO=OA corrispondono LM=MN. Inoltre M è il punto medio di RQ, quindi
LR=LM-RM=MN-MQ=QN
Concludo con
TR=2 LR=2 QN=QS
Re: Un po' di geometria con i cerchi
Generalizziamo il problema proponendo due punti qualsiasi $P$ e $P'$ tra $A$ e $B$ in questo modo abbiamo che i cerchi con centro in $A$ e $B$ hanno, rispettivamente, raggi $AP$ e $BP'$.
Se tracciamo l'asse perpendicolare del segmento $TR$, questo passa per $B$ e taglia nuovamente il cerchio di diametro $AB$ nel punto $D$. Allo stesso modo l'asse perpendicolare del segmento $QS$ taglia di nuovo il cerchio al punto $E$.
Sappiamo che $AE\parallel BD$ tale che $\angle EAB=\angle DBA$ e poiché $AB$ è il diametro è facile concludere che $AEBD$ è un rettangolo. Allora $BE\perp AE\rightarrow BE\parallel RQ$ quindi $BEQR$ è un trapezio isoscele, quindi $BR=QE$ (1) e $\angle BRT=\angle EQS$ (2).
Per simmetria rispetto a $BD$ e $AE$, abbiamo che $BR=BT$ e $QE=SE$ e se consideriamo (1) e (2) concludiamo che $\Delta BRT\cong \Delta EQS \rightarrow TR=QS$ (nel problema proposto considereremmo che P=P')
Se tracciamo l'asse perpendicolare del segmento $TR$, questo passa per $B$ e taglia nuovamente il cerchio di diametro $AB$ nel punto $D$. Allo stesso modo l'asse perpendicolare del segmento $QS$ taglia di nuovo il cerchio al punto $E$.
Sappiamo che $AE\parallel BD$ tale che $\angle EAB=\angle DBA$ e poiché $AB$ è il diametro è facile concludere che $AEBD$ è un rettangolo. Allora $BE\perp AE\rightarrow BE\parallel RQ$ quindi $BEQR$ è un trapezio isoscele, quindi $BR=QE$ (1) e $\angle BRT=\angle EQS$ (2).
Per simmetria rispetto a $BD$ e $AE$, abbiamo che $BR=BT$ e $QE=SE$ e se consideriamo (1) e (2) concludiamo che $\Delta BRT\cong \Delta EQS \rightarrow TR=QS$ (nel problema proposto considereremmo che P=P')
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