Dati due triangoli di area S ed S\' e perimetro p e p\'. Se un lato e l\'angolo opposto di uno dei triangoli sono rispettivamente uguali ai corrispondenti dell\'altro triangolo, provare che p > p\' se e solo se S > S\'.
<BR>
<BR>
<BR>PS
<BR>per quanto mi risulta il problema e\' originale (anche se non molto ... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">)
<BR>
<BR>
<BR>
Tale perimetro ... tale area!
Moderatore: tutor
Perchè i problemi interessanti nn li risolve mai nessuno...?
<BR>
<BR>Avendo fissato la lunghezza di un lato e l\'ampiezza dell\'angolo ad esso opposto, dobbiamo cercare il terzo vertice sulla circonferenza che vede il segmento AB (dato) sotto l\'angolo ACB (dato). Ora, barerò un poco, barcamenandomi tra fisica e funzioni: se noi abbiano un solco circolare in cui due pioli siano fissi ed un terzo mobile (senza attriti etc...) e facciamo passare attorno a questi tre pioli un elastico (perfettamente elastico, flessibile, etc), questo sistema sarà in equilibrio in posizioni che corrispondono ai punti stazionari della funzione p=f(s) dove p è il perimetro e s è la posizione del terzo piolo. Vediamo che le posizioni di equilibrio sono 3: due minimi di eq stabile quando C (il terzo piolo) coincide con A o B e un massimo di eq instabile quando CA=CB. Quindi la funzione cresce e decresce, con un massimo quando CA=CB. Se noi consideriamo ora la funzione A=f(s) dove A è l\'area del triangolo, semplici considerazioni ci fanno concludere che anch\'essa cresce e decresce con un massimo quando CA=CB e due minimi quando C==A oppure C==B.
<BR>
<BR>Dimostrazione transdisciplinare finita.
<BR>
<BR>Convinto che ci sia una strada puramente geometrica (possibilmente più elegante di questa) prego voi tutti di cercarla. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>Avendo fissato la lunghezza di un lato e l\'ampiezza dell\'angolo ad esso opposto, dobbiamo cercare il terzo vertice sulla circonferenza che vede il segmento AB (dato) sotto l\'angolo ACB (dato). Ora, barerò un poco, barcamenandomi tra fisica e funzioni: se noi abbiano un solco circolare in cui due pioli siano fissi ed un terzo mobile (senza attriti etc...) e facciamo passare attorno a questi tre pioli un elastico (perfettamente elastico, flessibile, etc), questo sistema sarà in equilibrio in posizioni che corrispondono ai punti stazionari della funzione p=f(s) dove p è il perimetro e s è la posizione del terzo piolo. Vediamo che le posizioni di equilibrio sono 3: due minimi di eq stabile quando C (il terzo piolo) coincide con A o B e un massimo di eq instabile quando CA=CB. Quindi la funzione cresce e decresce, con un massimo quando CA=CB. Se noi consideriamo ora la funzione A=f(s) dove A è l\'area del triangolo, semplici considerazioni ci fanno concludere che anch\'essa cresce e decresce con un massimo quando CA=CB e due minimi quando C==A oppure C==B.
<BR>
<BR>Dimostrazione transdisciplinare finita.
<BR>
<BR>Convinto che ci sia una strada puramente geometrica (possibilmente più elegante di questa) prego voi tutti di cercarla. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
A questo problema, per cui esiste almeno (ma io credo piu\' di) una soluzione geometrica classica, ci sono arrivato nel tentativo di risolvere uno dei problemi dati alle gare dell\'UNIMI per le squadre: quello che chiedeva di provare che il perimetro di un triangolo acutangolo e\' maggiore di due volte il diametro del cerchio circoscritto.
<BR>
<BR>Il problema delle gare e\' un corollario di questo.
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>Il problema delle gare e\' un corollario di questo.
<BR>
<BR>
<BR>
simpatico!
<BR>io l\'ho fatto per una via pesante, non elegante anche se piuttosto sicura: cara, vecchia trigonometria...
<BR>premetto, le maiuscole sono angoli (non uso simboli per evitare di dover correggere poi il post...), mentre le minuscole sono lati opposti agli angoli (a e A, b e B, c e C, for dummies...)
<BR>dunque, sono noti a e A, dunque è noto B+C=pi-A. chiamiamo D=(B-C)/2, che è la nostra unica variabile...
<BR>per il teorema dei seni abbiamo p=(a/senA)(senC+senB)=(a/senA)*2cos(A/2)cosD, per applicazione di prostaferesi e archi associati.
<BR>calcoliamo poi l\'area, che sarà pari a (a²/2sen²A)*senAsenBsenC = a²(cos(A/2)/4senA)*(cos2D+cosA) = a²*cos(A/2)*(cosA-1)/senA+a²(cos(A/2)/2senA)*cos²D.
<BR>poiché la crescenza o decrescenza di perimetro ed area dipendono da uno stesso fattore, a perimetri maggior corrispondono aree maggiori e viceversa (non è molto elegante né rigorosa quest\'affermazione, però..).
<BR>la via geometrica pura mi puzza d\'inversione... non so perchè!
<BR>ma_go
<BR>io l\'ho fatto per una via pesante, non elegante anche se piuttosto sicura: cara, vecchia trigonometria...
<BR>premetto, le maiuscole sono angoli (non uso simboli per evitare di dover correggere poi il post...), mentre le minuscole sono lati opposti agli angoli (a e A, b e B, c e C, for dummies...)
<BR>dunque, sono noti a e A, dunque è noto B+C=pi-A. chiamiamo D=(B-C)/2, che è la nostra unica variabile...
<BR>per il teorema dei seni abbiamo p=(a/senA)(senC+senB)=(a/senA)*2cos(A/2)cosD, per applicazione di prostaferesi e archi associati.
<BR>calcoliamo poi l\'area, che sarà pari a (a²/2sen²A)*senAsenBsenC = a²(cos(A/2)/4senA)*(cos2D+cosA) = a²*cos(A/2)*(cosA-1)/senA+a²(cos(A/2)/2senA)*cos²D.
<BR>poiché la crescenza o decrescenza di perimetro ed area dipendono da uno stesso fattore, a perimetri maggior corrispondono aree maggiori e viceversa (non è molto elegante né rigorosa quest\'affermazione, però..).
<BR>la via geometrica pura mi puzza d\'inversione... non so perchè!
<BR>ma_go
Siano ABC e ABD con < C = < D. Suppoaniamo che S(ABC) > S(ABD) [cioe\' C stia piu\' in alto di D rispetto ad AB].
<BR>Sia B\' sul prolungaMENTO DI ad tale che DB=DB\' e B\" su AC tale che CB=CB\". Si deve provare che AB\' < AB\". Per provare cio\' basta provare che
<BR>< AB\'B\" \"minore\" < AB\"B\'.
<BR>
<BR>...
<BR>
<BR>(continuiamo)
<BR>
<BR>questo deriva dal fatto che A,B,B\' e B\" sono su una stessa circonferenza. Quindi < AB\'B\" e\' complementare di < ABB\" e < B\'B\"B e\' complementare di < BAB\'. L\'angolo esterno < B del traingolo ABC e\' ovviamente maggiore dell\'angolo esterno < A del triangolo ABD sottraendo da entrambi < AB\'B = < AB\"B si ha quanto necessario.
<BR>
<BR>L\'implicazione nell\'altro verso dovrebbe ottenersi ripercorrendo a ritroso i precedenti passi.
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 14-10-2003 14:58 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 14-10-2003 15:01 ]
<BR>Sia B\' sul prolungaMENTO DI ad tale che DB=DB\' e B\" su AC tale che CB=CB\". Si deve provare che AB\' < AB\". Per provare cio\' basta provare che
<BR>< AB\'B\" \"minore\" < AB\"B\'.
<BR>
<BR>...
<BR>
<BR>(continuiamo)
<BR>
<BR>questo deriva dal fatto che A,B,B\' e B\" sono su una stessa circonferenza. Quindi < AB\'B\" e\' complementare di < ABB\" e < B\'B\"B e\' complementare di < BAB\'. L\'angolo esterno < B del traingolo ABC e\' ovviamente maggiore dell\'angolo esterno < A del triangolo ABD sottraendo da entrambi < AB\'B = < AB\"B si ha quanto necessario.
<BR>
<BR>L\'implicazione nell\'altro verso dovrebbe ottenersi ripercorrendo a ritroso i precedenti passi.
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 14-10-2003 14:58 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 14-10-2003 15:01 ]