Problema Staffetta #7

[Max Iorio]

Siano $x$, $y$, $z$ numeri reali positivi tali che la somma dei loro quadrati valga $25$.
Trovare il minimo valore possibile per l'espressione $\frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y}$.

[εΞα(7)]

Sono comode le seguenti sostituzioni:
[math]\frac{xy}{z}=a, [math]\frac{yz}{x}=b, [math]\frac{zx}{y}=c

A questo punto, l'ipotesi che [math]x^2+y^2+z^2=25 diventa [math]ac+ab+bc=25, dove bisogna trovare il minimo di [math]a+b+c.
Detto m il minimo di tale somma, quello che cerchiamo è la più grande m tale che [math]a+b+c\geq m per ogni terna [math](a,b,c) che rispetti l'ipotesi.

Elevando al quadrato la disuguaglianza troviamo [math]a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2+50=\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{a^2+c^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+50\geq m^2

Ma dalla disuguaglianza AM-GM sappiamo che vale in generale [math]\frac{k^2+j^2}{2}\geq\sqrt{k^2j^2}=kj, perciò sappiamo per certo che [math] \frac{a^2+b^2}{2}+\frac{a^2+c^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+50\geq ab+ac+bc+50=25+50=75.
Si ricava facilmente che al minimo [math](a+b+c)^2=75\geq m^2 e [math]m\leq\sqrt{75}=5\sqrt{3}.

Tale valore minimo può essere effettivamente raggiunto. infatti, fissando [math]a=b=c, sia ha che [math]a^2+b^2+c^2=3a^2=25, dunque [math]a=\frac{5}{\sqrt{3}}, e infine [math]a+b+c=3a=3\frac{5}{\sqrt{3}}=5\sqrt{3}

Spero che la soluzione non sia stata pubblicata da altre parti, e perdonatemi se dovessero esserci degli errori; si tratta del mio primo post su questo forum.