Corso Prime: Pb. 15.4 - sommatoria di p(n)

[Problem 3n+1]

Salve, sto cercando di risolvere il problema 15 della lista 4 del corso per le prime (https://www.problemisvolti.it/CorsoBase ... atica.html). Il problema richiede di risolvere tale sommatoria:

Sia [math]p(n)=n^7-14n^5+49n^3-36n

calcolare[math]\sum\limits_{n=1}^{100} p(n)

La formula scritta nel foglio delle risposte non sono riuscito a capirla. Qualcuno mi potrebbe dare un suggerimento? Grazie.

[εΞα(7)]

Ciao, io ho pensato questa soluzione.
Anzitutto, dovresti provare a scomporre in fattori [math]p(x). La fattorizzazione è la seguente:

Testo nascosto:

[math]p(n)=n^2(n^2-1)(n^2-4)(n^2-9)=(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)
Se [math]n=1, 2, 3, vale chiaramente p(n)=0, quindi puoi considerare la sommatoria per i soli valori di [math]n tali che [math]4\leq n\leq100.

Ora dovresti trovare una scrittura più semplice per esprimere quel prodotto. Infatti,

Testo nascosto:

notiamo che, per [math]n\geq4, vale
[math]p(n)=\frac{(n+3)!}{(n-4)!}=7!\frac{(n+3)!}{7!(n-4)!}=7!\binom{n+3}{7}.
A questo punto, sai che [math]\sum_{n=1}^{100} p(n)=\sum_{n=4}^{100} 7!\binom{n+3}{7}=7!\sum_{n=4}^{100}\binom{n+3}{7}=7!\sum_{m=7}^{103} \binom{m}{7}.
Non so se conosci la formula per esprimere questo tipo di somma di coefficienti binomiali. Se non la conosci, puoi ricavarla, ma non è così immediata. In ogni caso,

Testo nascosto:

[math]\sum_{n=1}^{100} p(n)=7!\sum_{m=7}^{103} \binom{m}{7}=7!\binom{104}{8}=\frac{7!\cdot104!}{8!\cdot96!}=\frac{104!}{8\cdot96!}

[Problem 3n+1]

Grazie mille. Immaginavo che centrasse qualcosa con la formula del calcolo dei coefficienti binomiali ma non sapevo come arrivarci.