Corso Prime: Pb. 14.3 - formula ricorsiva

[Problem 3n+1]

Salve, non sono riuscito a risolvere il problema 14 della lista 3 del corso per le prime (https://www.problemisvolti.it/CorsoBase ... atica.html). Il problema cita:

"Dire in quanti modi posso mettre in fila i numeri interi da 1 a 10 in modo che siano rispettate le seguenti regole:
1) il primo nemero della fila è sempre 1
2) la differenza tra due numeri che occupano posizioni consecutive nella fila non è mai superiore a 2"

Non sono riuscito nemmeno a capire la formula ricorsiva scritta nel foglio delle risposte (devo ancora comprendere cosa rappresenta [math]X_n) .
Se quancuno potrebbe spiegarmi la formula o darmi un suggerimento per capirla mi farebbe un grande favore. Grazie.

[fph]

$X_n$ è il numero di modi di mettere in fila gli interi da $1$ a $n$ in modo che siano rispettate le due regole.

Hint: ragiona induttivamente, supponendo di aver già determinato $X_1,\dots,X_{n-1}$. Comincia a costruire una sequenza che fa parte di $X_n$ "con le mani". Il secondo numero della fila può essere 2 oppiure 3. Se è 2, allora quanti modi hai di mettere in fila i numeri successivi, ragionando induttivamente? Se è 3, invece, come può continuare la sequenza? In particolare, quale numero è difficile da piazzare?

[Problem 3n+1]

$X_n$ è il numero di modi di mettere in fila gli interi da $1$ a $n$ in modo che siano rispettate le due regole.

Hint: ragiona induttivamente, supponendo di aver già determinato $X_1,\dots,X_{n-1}$. Comincia a costruire una sequenza che fa parte di $X_n$ "con le mani". Il secondo numero della fila può essere 2 oppiure 3. Se è 2, allora quanti modi hai di mettere in fila i numeri successivi, ragionando induttivamente? Se è 3, invece, come può continuare la sequenza? In particolare, quale numero è difficile da piazzare?

Grazie mille Federico (posso chiamarti per nome?) finalmente ci sono arrivato alla soluzione (seppur mi ci sia voluta un intera giornata ). Una domanda un pò più personale, ho trovato su https://fph.altervista.org/oli/index.html la tua prima versione dei barbatrucchi publicata nel lontano 2004 ma ho saputo che negli ultimi anni la stavi ampliando. Potresti dirmi dove posso trovare la versione più recente? Grazie.

P.s. Grazie anche per il tuo aiuto, sopratutto nell'ambito delle dispense e del materiale per la preparazione alle gare.

[fph]

Grazie mille Federico (posso chiamarti per nome?)

Certamente!

Purtroppo non ci sono stati aggiornamenti per quella dispensa, mi spiace; tra gli impegni universitari non ci lavoro da parecchio: ora è passato molto tempo e non ho neanche più il sorgente Latex.
Ma nel frattempo fortunatamente è uscito tanto altro materiale, dalle videolezioni dei senior ai libri di U Math.