Teorema dei residui

[Insubrico]

Mi si chiede di risolvere questo problema col metodo dei residui$\int_{0}^{2\pi}\ sen^2(x)\ dx$.

Il problema è che non ci sono singolarità.

Avete dei suggerimenti??


Saluti.

[elianto84]

Per Pitagora il valor medio della funzione $\sin^2$ è $\frac{1}{2}$, dunque l'integrale vale chiaramente $\pi$.
Volendo abbatterlo a cannonate, via formula di Eulero/De Moivre
$$ \int_{0}^{2\pi}\sin^2(x)\,dx = -\frac{1}{4}\int_{0}^{2\pi}\left(e^{2ix}-2+e^{-2ix}\right)\,dx = -\frac{1}{4}\oint_{\|z\|=1}\left(z-\frac{2}{z}+\frac{1}{z^2}\right)\,dz $$
dove l'ultimo integrale dipende unicamente dal residuo di $\frac{1}{z}$ nell'origine.