SNS Esercizio 2 2025

[Gandalf73]

Salve a tutti.
Qualcuno di voi si è cimentato con i tests della Scuola Normale di quest'anno?
Vi riporto l'esercizio :
siano $ f(t) $ e $ g(t) $ polinomi a coefficienti reali di grado 3 e sia $ h (t) $ un polinomio non nullo a coefficienti reali di grado al massimo 2. Supponiamo di avere
$ f(t) ^2 $ + $ h(t)^2 $ = $ g(t)^2 $,
mostrare che esistono
due numeri reali $ a \neq b $ per cui vale
$ f(a) $ = $ f(b) $ = 0.
Qualcuno ha qualche idea che consenta di escludere il fatto che le radici possano essere complesse e coniugate?
Grazie a tutti
A.

[Sebastiano Marchi]

Ho scritto questa soluzione in LaTex. Al momento non ho il tempo metterla in ordine per bene, ma spero si comprenda lo stesso.

Soluzione_esercizio_3_Normale_di_Pisa.pdf

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Ovviamente potrei aver fatto errori, nel caso per favore segnalatemeli.

[Sebastiano Marchi]

errata corrige: verso la fine ho scritto determinante invece che discriminante

[Gandalf73]

Ciao caro,in primis grazie davvero!
Adesso nel we gli do un' occhiata.
Per ora solo un piccolo refuso ed una domanda. Nel file pdf leggo "..esercizio_3....". Il numero mi pare sia il 2 (dal testo).
Nella soluzione vedo che hai considerato il polinomio $f(x)$ senza il coefficiente $k_f$ come mai ?Lo hai inglobato nelle altre costanti o ti è sfuggito?
In quanto al primo problema del test di ammissione metto poi un post: c'è di mezzo la formula di Legendre....(mi pare)
Un saluto e ....la prossima settimana ti dico.
A.

[Sebastiano Marchi]

Esercizio tre perché è il terzo progetto su Overleaf che faccio risolvendo esercizi della normale, serve a me per distinguerli ma non c'entra con l'ordine degli esercizi del test di quest'anno. Per quanto riguarda il coefficiente , se non è nullo (caso considerato alla fine) può essere ignorato, dividendo tutti i polinomi di uno stesso coefficiente reale (ossia quello di f(x)). Quindi sì l'ho inglobato nelle altre costanti. Anch'io avevo riconosciuto la formula di Legendre. Torna utile anche per il punto 2 del problema secondo me.

[Gandalf73]

Ti ho inviato un msg in pvt per alcune considerazioni generali sul quesito.
Ciao
A.