Una nuova analisi delle strutture spiraliformi del Nautilus e della Spirula spirula.

[Davide Rotondo]

Gentili utenti di Oliforum,

mi chiamo Davide Rotondo e sono un ricercatore indipendente. Vorrei condividere con voi quello che ritengo possa essere un approccio completamente nuovo all'analisi delle strutture spiraliformi delle conchiglie del Nautilus e della Spirula spirula.

Il mio obiettivo è stato quello di verificare se queste curve naturali possano essere ricostruite attraverso schemi numerici ricorsivi, anziché essere semplicemente approssimate mediante una classica spirale logaritmica o una spirale aurea.

Il Nautilus

Per il Nautilus, ho trovato che la spirale può essere ricostruita passo dopo passo utilizzando la seguente ricorrenza:

a(n) = a(n-2) + a(n-4) + a(n-10)

con i valori iniziali:

1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14, 18, 24, 31, 41, 52

La ricostruzione è stata realizzata utilizzando 16 archi, con uno zoom della spirale dell'84%, una rotazione in senso antiorario, un'opacità dell'immagine dell'80% e uno zoom dell'immagine del 180%.

La curva risultante segue in modo sorprendentemente preciso la geometria della conchiglia del Nautilus.

La Spirula spirula

Ho effettuato un'analisi simile sulla spirale esterna di una conchiglia di Spirula spirula. L'immagine che ho analizzato è stata ottenuta dal sito Conchiglie del Mediterraneo:

[Conchiglie del Mediterraneo](https://www.conchigliedelmediterraneo.it)

Partendo dalla geometria osservata, sono riuscito a ricostruire passo dopo passo la spirale esterna utilizzando i valori:

2, 3, 4, 6, 8, 11, 14, 19, 24, 32, ...

Successivamente ho notato che questi valori corrispondono alla sequenza A094707 dell'OEIS, descritta come le somme parziali di una sequenza di Fibonacci ripetuta.

La ricorrenza associata alla sequenza può essere scritta come:

a(n) = a(n-1) + a(n+2) - a(n-3) + a(n-4) - a(n-5), oppure
a(n) = a(n-2) + a(n-4) + 2

Per la ricostruzione ho utilizzato uno zoom della spirale del 168% e uno zoom dell'immagine del 150%.

Un possibile collegamento con nuovi "rapporti argentei"

Una delle osservazioni più interessanti è emersa proprio dall'analisi della Spirula spirula.

Il rapporto

a(n) / a(n-1)

sembra tendere verso due costanti:

(phi + 1) / 2

e

(phi - 1) × 2

dove phi rappresenta il rapporto aureo.

Ho chiamato queste due costanti "rapporti argentei", perché sono due e perché presentano un collegamento diretto con phi.

Un fenomeno simile compare anche nel Nautilus.

Se consideriamo soltanto i valori generati dalla ricorrenza più semplice:

a(n) = a(n-2) + a(n-4)

con valori iniziali:

1, 2, 2, 2

il rapporto a(n) / a(n-1) tende nuovamente verso le stesse due costanti.

Questo suggerisce che la comparsa di questi rapporti potrebbe non essere una semplice coincidenza numerica isolata, ma potrebbe essere collegata alla struttura ricorsiva che sta alla base di queste spirali naturali.

Il mio strumento di ricostruzione

L'applicazione che utilizzo per queste analisi è stata anch'essa creata da me con l'aiuto dell'intelligenza artificiale:

[Recursive Spirals AI](https://spirali-ricorsive.ai.studio)

L'applicazione mi permette di seguire il percorso di una spirale sia numericamente sia visivamente, rendendo possibile studiare quale regola ricorsiva possa essere responsabile della geometria osservata.

Condivido questi risultati perché sarei molto interessato a conoscere l'opinione di persone con esperienza nei campi della matematica, della geometria, della biologia e della modellazione matematica.

Queste strutture ricorsive possono fornire una descrizione matematica significativa delle spirali del Nautilus e della Spirula spirula?

E le due costanti collegate a phi potrebbero rappresentare un nuovo modo utile per descrivere i rapporti di crescita nelle spirali naturali?

Sarei molto interessato a ricevere commenti, critiche o suggerimenti per ulteriori approfondimenti e verifiche.

Cordiali saluti,
Davide Rotondo