es. tosto

[Biagio]

ecco un\'es.
<BR>trovare il più piccolo valore di a (intero) per cui
<BR>13(n^5) + 5(n^13) + 9an sia divisibile per 65 per ogni n intero.
<BR>ps:io lo trovo tosto... se qualcuno mi può dare una mano...

[ReKaio]

k=13(n^5) + 5(n^13) + 9an
<BR>
<BR>se 13|n --> 13|k
<BR>altrimenti
<BR>n^13==n mod 13 k==13(n^5) + 5(n^13) + 9an == n(5 + 9a)==0 mod 13
<BR>
<BR>se 5|a --> 5|k
<BR>altrimenti
<BR>n^5==n k==13n + 9an == n(13+9a) ==0 mod 5
<BR>
<BR>n(5 + 9a)==0 mod 13
<BR>n(13+9a)==0 mod 5
<BR>
<BR>devono valere per ogni n, quindi anche per n=/=0 mod 13 e mod 5
<BR>5+9a==0 mod 13
<BR>3+9a==0 mod 5
<BR>
<BR>da cui si ricava a=63+65m il minore, quindi a=63
<BR>
<BR>se non sono sfuggiti errori di conto<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 03-11-2003 16:02 ]

[Simo_the_wolf]

Non mi sembrava tanto difficilotto...
<BR>
<BR>Noi sappiamo x Fermat che n^5==n mod 5 e n^13==n mod 13 quindi:
<BR>
<BR>13n^5+5n^3+9an==(13+9a)n mod 5 da cui a==-2 mod 5
<BR>13n^5+5n^3+9an==(5+9a)n mod 13 da cui a==-2 mod 13
<BR>
<BR>quindi a==-2 mod 65 e il più piccolo valore congruo a -2 mod 65 è proprio -2 (o per i naturali è 63) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

[Biagio]

ok. grazie
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 03-11-2003 20:54 ]

[Simo_the_wolf]

Si petrebbe generalizzare il problema:
<BR>
<BR>per quale a x*(n^y)+y*(n^x)+an è sempre divisibile per xy (x e y sono primi)?
<BR>
<BR>ps: nn è molto dificile... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 07-11-2003 18:47 ]

[talpuz]

a==-x mod y
<BR>a==-y mod x
<BR>direi...
<BR>la soluzione numerica penso che la si debba calcolare caso x caso
<BR>(esiste ed è unica x il teorema cinese del resto se x e y sono coprimi)