minimizzazione

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

quindi la condizione richiesta sarebbe...??
 so che sto sparando una cavolata, ma la derivate parziali di ordine due dipendono soltanto da a e da c
 imponendo a>0 e c>0, non siamo sicuri che il punto sia di minimo?
 (mi sto ispirando ovviamente all\'analisi in 1 variabile, e sono fortemente dubbioso della correttezza della trasposizione... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> )

pazqo · Messaggio da **pazqo** » 01 gen 1970, 01:33

purtroppo non funziona così. c\'è da verificare che l\'Hessiana sia definita positiva. ma con me caschi male. non mi piace l\'analisi, quindi non mi ricordo la definizione di definita positiva...

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Guarda, Pazqo, che le matrici sono un classico argomento di Algebra, non certo di Analisi! Non te n\'eri ancora reso conto?! Oh, come t\'invidio! Aveva proprio ragione quel tale quando affermava che l\'ignoranza è un\'appetibile virtù! Comunque, una matrice A quadrata di ordine n a elementi reali, essendo n un intero > 0, si dice definita positiva (risp., negativa) se: x^T * A * x > 0 (risp., < 0) per ogni x€R^n\\{0}, ove x^T indica il trasposto del vettore colonna x e \"*\" denota l\'ordinario prodotto matriciale righe per colonne. Faccio notare che, per ogni x€R^n: Phi(x) := x^T * A * x è un polinomio di secondo grado nelle componenti dello stesso vettore x. Tale polinomio, per vostra informazione, vien detto la forma quadratica associata alla matrice A. Per completezza, aggiungo che A si dice semidefinita positiva (risp., negativa) se: Phi(x) >= 0 (risp., < 0), per ogni x€R^n.
 
 P.S.: ho dimenticato di aggiungere, per dovere di completezza, che A si dice (infine) indefinita in segno se esistono due vettori x,y€R^n tali per cui:
 Phi(x) > 0 e Phi(y) < 0. Ciao!
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 07-12-2003 00:26 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 10-12-2003 01:36 ]

pazqo · Messaggio da **pazqo** » 01 gen 1970, 01:33

Le matrici saranno anche argomento di Algebra, ma in nessun corso di algerba, nè di geometria (per ora), abbiam parlato di matrici definite positive. gli unici corsi in cui ne abbiamo parlato sono analisi numerica e analisi 3...
 
 Inoltre, saprai bene che trovare la norma di una matrice non è certo un problema di algebra, bensi di analisi. è un problema di massimo/minimo... e, sempre per chiarire, in algebra si studia i Gruppi di matrici (GL, SL, PGL, PSL, O, SO, etc...) non certo le caratteristiche geometriche, quale mi pare sia la caratteristica in questione. che poi le matrici definite formino un gruppo o meno, quello è un altro discorso e sinceramente penso che non interessi tanto l\'algebra quanto la geometria differenziale (o cmq l\'ambito geometrico), e l\'analisi, visto che, ad esempio, serve una matrice definita positiva per indurre un prodotto scalare, o altrimenti, come in questo caso, servono per determinare il massimo o il minimo di una superficie. come vedi le problematiche relative alle matrici definite positive non son certo legate alle azioni di gruppo, alle rappresentazioni, ai teoremi di Sylow, etc...
 cmq ho fatto un gaffe, e spero tu possa dirci qual\'è la condizione necessaria e sufficente affinchè la superficie abbia minimo.
 ciao ciao [ Questo Messaggio è stato Modificato da: pazqo il 07-12-2003 12:45 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Pazqo, perdonami, ma non è certo ostentando un sapere nozionistico che convincerai qualcuno delle tue abilità di matematico, delle quali (sia ben inteso) io non dubito minimamente, anzi tutt\'altro... E poi, permettimi un piccolo appunto: il fatto che, nel corso dei tuoi studi (sul merito dei quali personalmente son del tutto all\'oscuro), tu abbia utilizzato il concetto di matrice definita o semidefinita in segno in ambiti differenti dall\'Algebra (vedi Analisi, Geometria o Calcolo Numerico) non è un argomento a sostegno della tesi (puramente eretica!) secondo cui lo studio della segnatura di una matrice non sia, di base, un problema algebrico! La tua constatazione dimostra soltanto un fatto assolutamente risaputo, e cioé che la Matematica è una struttura complessa in cui i vari settori si avvalgono l\'uno degli strumenti messi a punto dagli altri, tutto qui! Ora, per cercare di convincerti del fatto che è proprio in ambito algebrico che lo studio della segnatura d\'una matrice A quadrata di ordine n a elementi reali (ove n è un intero positivo) trova la sua collocazione più consona e naturale, qualora non bastasse (e mi meraviglia!) l\'annotazione che le matrici sono, innegabilmente, un argomento di questo settore, ti faccio presente che la più significativa caratterizzazione della proprietà di cui si discute si fonda sulla determinazione degli autovalori della parte simmetrica di A (ossia della matrice A_S := (A + A^T)/2, ove A^T indica la matrice trasposta di A) e sullo studio del segno di questi ultimi (N.B.: ti ricordo, qualora lo avessi scordato, che gli autovalori di una matrice simmetrica a elementi reali sono essi stessi delle quantità reali!). Ora, ti senti persino di poter negare il fatto che la determinazione degli autovalori di una matrice quadrata non sia un problema di Algebra? Ovviamente, mi auguro che la mia resti soltanto una domanda retorica... ciao! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 P.S.: comunque, adesso posto la soluzione che mi hai richiesto, mio scettico amico! Aspetto tuoi commenti in proposito! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 07-12-2003 18:12 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 10-12-2003 01:38 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Prima di procedere, è d\'obbligo una premessa circa le notazioni adottate in
 questo articolo: \"!=\" si legge \"diverso da\"; R è l\'insieme dei reali; \">=\" e
 \"<=\" si leggono, rispettivamente, \"maggiore o uguale di\" e \"minore o uguale
 di\"; \"lim_{z --> t}\" si legge \"limite per z tendente a t\"; \"€\" è il simbolo di
 appartenenza insiemistica, salvo non sia altrimenti specificato; \"*\" denota il
 prodotto ordinario sui reali; \"\\\", interposto fra due insiemi A e B secondo la
 scrittura \"A\\B\", indica l\'insieme di tutti e soli gli elementi di A che non
 appartengono a B (differenza insiemistica). Ogni altro simbolo dovrebbe essere autoesplicativo! Qualora così non fosse... basta chiedere, siam qui per questo!
 
 Alla soluzione premetto il seguente:
 
 Lemma: sia f(x,y) := a*x^2 + b*y^2 + c*x +d*y + e, per ogni (x,y)€R^2, con a,b,c,d,e € R. C.N.S. affinché f(#) ammetta minimo assoluto in R^2 è che risulti soddisfatta una almeno fra le seguenti condizioni:
 
 i) a > 0 e (b > 0 oppure b = d = 0);
 ii) a = c = 0 e (b > 0 oppure b = d = 0).
 
 DIM.: proviamo innanzitutto che la condizione è necessaria. Se f(#) ammette
 minimo assoluto in R^2, allora in particolare essa è ivi inferiormente limitata, per cui (secondo definizione):
 
 esiste L€R t.c. per ogni (x,y)€R^2: f(x,y) >= L (1)
 
 Se ne deduce (più specificamente) che, comunque ristretta la libera variabilità della coppia (x,y)€R^2 ad una retta del tipo: y = m*x, con m€R:
 
 lim_{x --> infty} f(x,mx) > - infty (2)
 
 ove \"infty\" si legge \"infinito\". Se fosse infatti: lim_{x --> infty} f(x,mx) =
 - infty, si avrebbe (secondo definizione) che, comunque scelto un K > 0, e
 quindi in particolare per K = |L| + 1 > 0, esiste un x_€R (leggi: \"x segnato
 appartenente ad R\") tale che: f(x_,m*x_) < - K < - |L| <= L; ovvero avremmo determinato una coppia (x_,y_)€R^2, con y_ := m*x_, per cui: f(x_,y_) < L, in contrasto con la (1)! Ne discende (per contraddizione) la generale consistenza della (2). Assunto allora, più precisamente: m = 0, ovvero: y = 0, si trova che dev\'essere (secondo costruzione):
 
 lim_{x ---> infty} f(x,0) := lim_{x ---> infty} (a*x^2 + c*x + e) > - infty
 
 Evidentemente, quando a != 0, la precedente condizione al limite è soddisfatta se e soltanto se a > 0; viceversa, se a = 0, allora si tratta di imporre:
 
 lim_{x ---> infty} (c*x + e) > - infty <===> c = 0
 
 Dunque, una prima condizione necessaria affinché f(#) ammetta minimo assoluto in R^2 è che sia a > 0 oppure a = c = 0.
 D\'altro canto, poiché f(#) è funzione simmetrica dei suoi argomenti, stante
 che: f(x,y) = f(y,x), per ogni (x,y)€R^2, il vincolo appena stabilito sulla
 variabilità dei parametri a,c€R dev\'esser altresì esteso ai parametri b,d€R, e
 le condizioni così risultanti su ambedue le coppie di coefficienti (a,c) e
 (b,d) devono essere, peraltro, contemporaneamente soddisfatte; onde dedurne di conseguenza che f(#) ammette minimo assoluto in R^2 se:
 
 (a > 0 OR a = c = 0) AND (b > 0 OR b = d = 0)
 
 Di qui, la \"prima metà\" dell\'asserto, pur di rammentare che, dal punto di
 vista logico, l\'OR è distributivo (a destra e sinistra) rispetto all\'AND!
 
 Ciò detto, dimostriamo a questo punto che il lemma è pure condizione
 sufficiente. Se a = c = 0, allora: f(x,y) = b*y^2 + d*y + e, per ogni
 (x,y)€R^2, e pertanto (distinguendo i casi):
 
 - se b > 0, posto z := f(x,y), per ogni (x,y)€R^2, si ha che f(#) rappresenta
 nello spazio cartesiano ortonormale triassico Oxyz un paraboloide con la
 concavità rivolta in alto nel verso positivo delle z, e dunque f(#) ammette
 certamente minimo assoluto in R^2, coincidente con il valore assunto dal
 paraboloide nel suo vertice;
 
 - se b = d = 0, allora f(x,y) = e, ovvero f(#) è costante in R^2, e come tale
 ammette ancora minimo assoluto nel suo insieme di definizione.
 
 Ciò stabilito, supponiamo a questo punto a > 0, e procediamo ancora per
 ispezione diretta dei casi:
 
 - se b = d = 0, si prova che f(#) ammette minimo assoluto in base a
 considerazioni del tutto analoghe a quelle promosse nel caso a = c = 0 e b >
 0;
 
 - se b > 0, posto m := min{a,b} > 0, osserviamo che, per ogni (x,y)€R^2\\{(0,0)}:
 
 f(x,y) >= m*(x^2 + y^2) + c*x + d*y + e =
 
 = (x^2 + y^2)*[m + (c*x + d*y + e)/(x^2 + y^2)] =: g(x,y)
 
 da cui: lim_{|(x,y)| --> +infty} f(x,y) >= lim_{|(x,y)| --> +infty} g(x,y) = +
 infty, ove |(x,y)| denota la norma euclidea del generico vettore (x,y)€R^2.
 Ergo, dai teoremi del confronto: lim_{|(x,y)| --> +infty} f(x,y) = + infty, e
 dunque (secondo definizione):
 
 per ogni K > 0, esiste r(K) > 0 t.c. per ogni (x,y)€R^2, |(x,y)| > r(k):
 
 f(x,y) > K (3)
 
 Sia dunque K_ > 0 ed (x0,y0) un punto di R^2 (la cui esistenza è assicurata
 dalla relazione precedente) tale che: f(x0,y0) > K_ > 0. Fissato quindi K :=
 f(x0,y0) > 0 e determinato di conseguenza il raggio r(K) > 0 la cui esistenza
 è ancora garantita dalla (3), poniamo C := {(x,y)€R^2: |(x,y)| <= r(k)}.
 Evidentemente, C è un sottoinsieme non vuoto, chiuso e limitato di R^2 (lascio a voi, per esercizio, l\'eventuale verifica). Dunque, C è un insieme compatto. Del resto, f(#) è una funzione continua in R^2, e in quanto tale essa risulta, a maggior ragione, continua in C. Allora, per il teorema di Weierstrass, la restrizione di f(#) su C ammette minimo assoluto in C, ovvero esiste T€R tale che, per ogni (x,y)€C: f(x,y) >= T, e inoltre esiste (x_,y_)€C tale che: f(x_,y_) = T. Posto m0 := min{T,K}, resta così dimostrato che m0 è effettivamente il minimo assoluto di f(#) in R^2. Difatti, per costruzione:
 
 - se (x,y)€C: f(x,y) >= T >= min{T,K} =: m0;
 
 - se (x,y)€R^2\\C: f(x,y) >= K >= min{T,K} =: m0.
 
 In più, esiste almeno un punto (x,y)€R^2 tale che: f(x,y) = m0. Infatti, se m0 := min{T,K} = T, allora si può assumere (x,y) := (x_,y_); se invece m0 := min{T,K} = K, si pone (x,y) := (x0,y0).
 L\'asserto risulta in tal modo completamente verificato, q.e.d. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 10-12-2003 01:39 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Ciò stabilito, veniamo a questo punto alla soluzione vera e propria del
 problema posto da Talpuz. Innanzitutto, osserviamo che, per ogni (x,y)€R^2:
 
 f(x,y) := a*x^2 + 2b*xy + b*y^2 + c*x + d*y + e =
 
 = (a - b)*x^2 + b*(x + y)^2 + (c - d)*x + d*(x + y) + e
 
 perciocché, per ogni (x,y)€R^2, si può porre: f(x,y) = g(z,t), con z(x,y) := x
 e t(x,y) := x + y. Osserviamo che la mappa phi(#): R^2 ---> R^2: (x,y) ---> (z,t) è una biiezione di R^2 in sé. Ne segue che f(#) ammette minimo assoluto in R^2 se e soltanto se g(#) soddisfa la medesima condizione. Del resto, per ogni (z,t)€R^2:
 
 g(z,t) = (a - b)*z^2 + b*t^2 + (c - d)*z + d*t + e
 
 cosicché, stante il lemma di cui ho dato dimostrazione nel mio precedente post su questo stesso tema, g(#) ammette minimo assoluto in R^2 <===>
 
 (a - b > 0 oppure a - b = c - d = 0) e (b > 0 oppure b = d = 0)
 
 o equivalentemente:
 
 [a > b oppure (a = b e c = d)] e (b > 0 oppure b = d = 0)
 
 ovvero se e soltanto se è soddisfatta una almeno fra le seguenti condizioni:
 
 i) a > b > 0; ii) a > 0 e b = d = 0;
 
 iii) a = b > 0 e c = d; iv) a = b = c = d = 0
 
 ove i parametri non specificati (di caso in caso) si intendono arbitrariamente
 variabili nell\'insieme dei reali. Questo è quanto... vi sembra poco?!
 
 P.S.: a quanti avranno a obiettare che la soluzione da me proposta al
 simpatico problemino di Talpuz è troooooooo...ppo lunga, per via del lemma (suppongo!) che vi ho premesso, mi permetto soltanto di far osservare che, com\'è vero - da una parte - che son solo i dettagli (e non già il principio) a determinare la lunghezza dei miei articoli, cosicché rinunciando ai dettagli il discorso ne risulterebbe di conseguenza concentrato in poche righe; così pure è vero, dall\'altra, che rinunciare ai dettagli significherebbe render torto, in primis, a noi stessi e, in secundis, aspetto ben più rilevante, ai nostri beneamati lettori... vuoi perché son proprio i dettagli a definire la differenza fra il genio e la mediocrità vuoi perché i dettagli possono servire agli altri, come s\'usa dire, per chiarirsi le idee... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

ReKaio · Messaggio da **ReKaio** » 01 gen 1970, 01:33

è bella come dimostrazione, elaborata e graziosa come un ricamo all\'uncinetto

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Grazie, Kaio, sei un vero tesoro! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

germania2002 · Messaggio da **germania2002** » 01 gen 1970, 01:33

ma chi caspio siete dei in matematica? (quindi è sottinteso che darete un contributo a questa, sennò vi apro)
 
 Inoltre euler_25 vai all\'uni? se si quale? Quanto hai fatto ai GdA 125/125 e poi 114/114 e infine 42/42?
 mitico lunga 4 kilometri la spiegazione.
 
 PS: il termie esatto di chilometri non è \"kilometri\"?[addsig]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Ti dirò, in vita mia, non ho mai partecipato ad alcuna competizione di carattere Matematico, e sapessi quanto me ne dolgo... in verità, se proprio devo dirla tutta, un paio d\'anni or sono i miei amici m\'avevano iscritto alle selezione per i Giochi della Matematica organizzati ogni anno dalla Bocconi... una disfatta assoluta... ricordo che dopo aver impegnato buona parte delle mie energie nello sforzo di risolvere l\'esercizio di più alto punteggio fra quelli proposti, ed esservi peraltro riuscito in brevissimo tempo, escogitando un avvincente argomento che dimostrasse la correttezza del mio risultato (dimostrazione che, fra parentesi, per quanti non conoscessero i Giochi della Bocconi, non è richiesta, nel modo più assoluto!), nell\'eseguire un calcolo del tipo: 5 * 77 + 7 * 55, commisi un\'errore, perdendo di conseguenza i 14 punti che mi avrebbero garantito un punteggio pieno per la gara in questione e il diritto di accesso alle finali italiane di Milano... <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 07-12-2003 19:15 ]

pazqo · Messaggio da **pazqo** » 01 gen 1970, 01:33

c\'è poco da fare, tanto di cappello al nostro Euler.
 Davvero una bella (ma standard) dimostrazione, sebbene questo forum non sia una collezione di dispense dei vari corsi.
 Detto questo, per tornare alla questione delle matrici, non nego che le matrici vengano fuori da problemi di algebra. tuttavia permettimi di osservare che fanno parte più precisamente di Algebra Lineare. E nella maggior parte dei casi si può identificare l\'algebra lineare con i primi corsi di Geometria. Quindi non ci vedo nulla di male nel vedere le matrici più come un problema geometrico rispetto a un problema algebrico.
 cmq a presto, a risentirci. sei un tipo interessante. ne ho conosciuto già qualcuno come te.
 ciao
 stefano
 
 ps: quand\'è che avrei usato il nozionismo?

germania2002 · Messaggio da **germania2002** » 01 gen 1970, 01:33

hai capito tu, per un cacchio di errore non sei passato, peccato.
 Cacchio parli con una naturalezza che presuppone una colazione con latte e principi matematici. vabbè cmq all\'uni ci dovrebbe essere la gara dei giochi internazionali di mate.
 Spaccali tutti (c\'è pure emanuale haus)[addsig]

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

ma il problema non prevedeva l\'esistenza di una c al posto della b nel coefficiente di y²??
 comunque, carina.. credo che si possa accorciare, in ogni caso.. sei parecchio puntiglioso! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Ok, propongo a chi abbia voglia una strada alternativa, supponendo che Talpuz proponesse lo studio di:
 f(x,y)=ax^2 + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f
 Due osservazioni:
 1) a noi non interessa trovare il minimo, dobbiamo solo sapere se esiste...e qui c\'è poco da fare...ma ammesso che esista un punto di possibile minimo, passiamo all\'oss. 2:
 2) non è disdicevole provare a studiare un caso particolarissimo quale
 f(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2 e vedere quando l\'origine sia minimo per questa superficie, semplicemente con qualche considerazione sui segni del trinomio di secondo grado;
 3) una furbesca traslazione permette di ridurre il caso generale a questo particolare, ammesso che esista almeno un punto candidato minimo.
 
 Ed ora a voi, provate a studiare il comportamento nell\'origine di quel coso un po\' più semplice e vedete un po\' che si può dire del caso generale. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">