quadrati, o no?

[talpuz]

siano x,y,z interi positivi tali che 1/x-1/y=1/z, e sia M il MCD(x,y,z).
<BR>dimostrare che Mxyz e M(y-x) sono dei quadrati.

[massiminozippy]

Dove hai preso questo problema? Perchè mi è capitato fra le mani qualche giorno fa, ma non ricordo dove l\'ho letto....

[talpuz]

\"British Mathematical Olympiads\" di qualche anno fa, ma c\'è anche nella sezione \"miscellanea\" del libro delle olimpiadi
<BR>
<BR>hint:
<BR>possiamo considerare terne x,y,z con MCD(x,y,z)=1.
<BR>infatti...
<BR>
<BR>c\'mon!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

[talpuz]

vabè, posto la (mia) prima parte della soluzione...
<BR>vediamo se così qualcuno si intaressa...
<BR>
<BR>sia M=MCD(x,y,z)
<BR>allora x=Ma, y=Mb, z=Mc, con MCD(a,b,c)=1
<BR>risulta
<BR>1/x-1/y=1/z ==> 1/Ma-1/Mb=1/Mc ==> 1/M(1/a-1/b)=1/M(1/c)
<BR>e quindi, semplificando M, notiamo che anche la terna a,b,c soddisfa l\'uguaglianza del problema.
<BR>quindi possiamo limitarci a dimostrare la tesi per terne con MCD(x,y,z)=1.
<BR>infatti (usando la notazione di prima)
<BR>se abc=n² allora Mxyz=M⁴n²
<BR>e se b-a=n² allora M(y-x)=M²n²
<BR>che quindi sono dei quadrati.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 14-12-2003 19:53 ]

[Quanah]

...è triste lasciare un esercizio senza risposta. Visto che nessuno scrive più nulla lo farò io.
<BR>
<BR>Come disse Talpuz, possiamo considerare M=1.
<BR>1/z = (y-x)/xy dunque z = xy / (y-x)
<BR>MCD(x,y) = 1 ==> MCD(x, y-x) = 1
<BR>(Infatti se non fosse così esisterebbe a tale che x=a(y-x) dunque x(a-1)=ay e deve essere a=x, y=a-1 ==> y=x-1 ==> y-x=1 allora MCD(x, y-x) = 1)
<BR>Per lo stesso motivo MCD(y, y-x) = 1
<BR>Dunque y-x=1 perchè z è un intero.
<BR>Ora Mxyz = x^2*y^2
<BR>e M(y-x) = 1
<BR>

[talpuz]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-16 21:47, Quanah wrote:
<BR>MCD(x,y) = 1 ==> MCD(x, y-x) = 1
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>putroppo questo passaggio non è valido
<BR>controesempio:
<BR>1/2-1/6=1/3
<BR>MCD(2,6)=2=MCD(2,6-2)
<BR>
<BR>piuttosto, possiamo ragionare così:
<BR>sia M=MCD(x,y)=\\=1
<BR>allora x=Ma y=Mb con MCD(a,b)=1, dunque
<BR>1/Ma-1/Mb=1/z ==> 1/M[(b-a)/ab]=1/z
<BR>ora, M non può dividere z (perche??), quindi M | b-a,
<BR>da cui b-a=kM (1) ==> y-x=kM²
<BR>inoltre abbiamo k/ab=1/z, che, insieme alla (1), se k=\\=1 porta ad un\'assurdo, che vi lascio il piacere di trovare...
<BR>fatto questo, abbiamo praticamente già finito
<BR>(se effettivamente invece MCD(x,y)=1 si può usare il ragionamento di Quanah, oppure partire dalla (1) sostituendo ad a,b x e y, con M=1)
<BR>bye <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 17-12-2003 20:16 ]

[Quanah]

hai ragione: mi ero dimenticata un pezzo...
<BR>
<BR>M=1.
<BR>1/z = (y-x)/xy dunque z = xy / (y-x)
<BR>
<BR>Se MCD(x,y) = 1 ==> MCD(x, y-x) = 1
<BR>vale quello che ho scritto l\'altra volta.
<BR>
<BR>Se invece MCD(x,y) = p
<BR>x = ap
<BR>y = bp
<BR>MCD(a,b) = 1
<BR>z = apbp / p(b-a) = p a b / (b-a)
<BR>Ma b-a non divide ab ==> b-a divide p
<BR>allora M=p/(b-a)
<BR>Mxyz = p^4 * a^2 * b^2 / (b-a)^2
<BR>M(y-x) = p^2
<BR>