Direttamente dall\'...

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Studio ingegneria elettronica, ma fin dai primi anni delle scuole superiori ho sempre dedicato (mediamente) agli approfondimenti di Matematica non meno di 3-4 ore giornaliere, ritagliate al di fuori dell\'ambito degli studi più propriamente scolastici: tanto per darti una misura della mia ossessiva passione per quel mirabile parto dell\'ingegno DIVINO che la Matematica rappresenta ai miei occhi, ti dirò che nella gerarchia dei miei interessi, la Matematica appunto occupa la posizione al vertice, persino più in alto della figa... sì, lo so, sono malato, ma che posso farci! E pensare che me lo dice sempre anche la Valla! Comunque, il tuo problema mi piace e vedrò di dedicarmici al più presto, cercando eventualmente di limitarmi a un semplice richiamo dei risultati fondamentali che potrebbero servirmi nel corso di una eventuale dimostrazione che riuscissi ad inventarmi: sì, perché devo confessarti che il mio essere talvolta così \"bookish\", come qualcuno ha già pensato di definirmi, è legato al fatto che tutte le mie conoscenze Matematiche si fondano essenzialmente su una mia personale riscoperta della maggior parte delle dimostrazioni ai teoremi di cui mi servo: difatti, la quasi totalità dei libri su cui mi sono formato hanno avuto il pregio-difetto di limitarsi ad enunciare i risultati, omettendone tuttavia puntualmente le dimostrazioni. Ecco spiegato perché sono così pignolo nel modo di presentare le mie soluzioni ai vostri problemi: perché sò cosa significa penare giornate intere nel tentativo, spesso mancato, di procedere sulla dimostrazione di un qualcosa! E saprai bene che, se un interesse ti coinvolge oltre misura, difficilmente riesci ad accettare l\'idea che possa esservi qualche ostacolo che le tue sole forze non ti consentono di superare... o almeno, così è stato per me e, alla luce di quel che oggi sono, devo dire che mi sento piuttosto soddisfatto del risultato finale... nonostante la mia indole furente e permalosa... Per il resto, la facoltà di ingegneria non ha troppo da offrire a chi sia realmente \"innamorato\" della Matematica: difatti, a parte tracciare sommariamente qualche percorso che spetta tuttavia allo studente approfondire, qualora ovviamente ne avesse desiderio e condizione, la facoltà di ingegneria forma gente matematicamente ottusa e presuntuosa! Beh, ch\'io sia un tipo presuntuoso posso pure accettarla come critica! Ma sinceramente non mi par proprio d\'essere un ottuso... E tanto per convincertene (e non lo dico perché son vanaglorioso, e mi auguro che nessuno abbia a ritener l\'opposto!), ti dico soltanto che nel mese di Gennaio o al più tardi in Febbraio, grazie al sostegno di un\'associazione studentesca del mio ateneo, con buona probabilità (70%) mi sarà concesso l\'onore e l\'onere di esporre alla presenza di non so quanti Prof. di Matematica della mia regione (la Calabria) e della vicina Sicilia, oltre che ai soliti special guests di rito, la dimostrazione (parziale = accennata per sommi capi) dell\'UTF, l\'Ultimo di Teorema di Fermat! E\' ormai un mesetto che ho iniziato a prepararmi all\'evento e spero sinceramente di poter fare bella figura! Sarebbe un po\' il coronamento di un sogno che la mia insana decisione di fare ingegneria piuttosto che Matematica ha trasformato in una sorta di angoscia interiore che ormai da qualche anno mi porto dentro... <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
 
 P.S.: spero di aver soddisfatto la tua curiosità e di non essere risultato, come al solito, troppo borioso e supponente! Ciao...
 
 Salvo

Kalidor · Messaggio da **Kalidor** » 01 gen 1970, 01:33

Parte di quella di Wiles, spero, o almeno prendi spunto da lì...

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-12 22:53, euler_25 wrote:
 la quasi totalità dei libri su cui mi sono formato hanno avuto il pregio-difetto di limitarsi ad enunciare i risultati, omettendone tuttavia puntualmente le dimostrazioni. Ecco spiegato perché sono così pignolo nel modo di presentare le mie soluzioni ai vostri problemi
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Curioso, su un certo Ramanujan l\'effetto è stato opposto! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Cosa vuoi ch\'io ti dica: il mondo è bello innanzitutto perché è vario!
 
 P.S.: sì, Kalidor, il seminario riguarda precisamente la dimostrazione di Andrew Wiles. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 13-12-2003 14:20 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Grazie ai generosi e illuminati consigli di Pazqo, Lordgauss e Samuele, nonché di Psion, Kaio e Antimateria, ho deciso di \"rivedere drasticamente\" il mio atteggiamento in questo forum, non certo la sostanza del mio personalissimo modo di \"far Matematica\", prediligendo l\'opzione di rendere voi tutti attivamente partecipi nella discussione delle mie dimostrazioni e/o soluzioni ai problemi proposti in queste pagine, piuttusto che limitandomi a \"schiaffarvi in faccia\" kilometri e kilometri binari di conti e argomentazioni che, per quanto inappuntabili (perché questo almeno dovreste riconoscermelo...), sono comunque obiettivamente meno istruttivi di quanto, al contrario, potrebbero forse risultare (non vorrei sembrare a riguardo troppo presuntuoso...) se riuscissi a coinvolgervi nelle mie dissennate elucubrazioni mentali, così come del resto voi tutti siete usi di fare gli uni con gli altri, in quel sereno clima di sodale collaborazione che (or me n\'avvedo...) in qualche misura io ho colpevolmente turbato!
 Ciò premesso, procediamo oltre, passando concretamente alla discussione del problema (in verità, molto interessante) posto da MassiminoZippy.
 
 NOTA 1: poiché trattasi di una questione piuttosto particolare, nel corso della mia discussione mi permetterò di richiamare qualche definizione preliminare e alcuni risultati che, come ho detto, vorrei dibattere passo per passo assieme a voi, nella sola speranza di risultare a TUTTI, grandi e piccini, liceali e universitari, masculi e fimmeni, uomini e caproni..., quanto più chiaro mi sia possibile.
 
 Definizione 1: diremo che un dato sottoinsieme non vuoto R dei numeri complessi costituisce un campo razionale se (e soltanto se) R è chiuso rispetto alle ordinarie operazioni razionali di somma, differenza, prodotto e quoziente (con eccezione della divisione per zero).
 
 NOTA 2: in effetti, la definizione qui posta non è la più generale fra le possibili, ma tuttavia è sufficiente in rapporto alle finalità che ci proponiamo di raggiungere nel corso di questa discussione.
 
 Teorema 1: sia R un sottoinsieme non vuoto dei complessi. C.N. affinché R sia un campo razionale è che, in particolare, R sia un campo nell\'accezione più propriamente algebrica del termine.
 
 Esempio 1: sia Pn(x) := sum[k = 0,...,n] ak*xk un qualsivoglia polinomio irriducibile di grado n ≥ 1 a coefficienti interi (a0 != 0, ak€Z per ogni k = 0,...,n) sul campo complesso. Per il teorema fondamentale dell\'Algebra, è noto che l\'equazione Pn(x) = 0 ammette n radici complesse z1, z2,...,zn, ciascuna contata con la rispettiva molteplicità algebrica (non è detto infatti che le n radici debbano essere tutte o in parte necessariamente distinte fra loro). Assunto z := zi, per qualche i = 1,...,n, poniamo R(z) := {w€C: w = r0 + r1*z + ... + rn-1*zn-1, con r0,...,rn-1€Q}.
 Sussiste allora il seguente:
 
 Teorema 2: l\'insieme R(z) è un campo razionale.
 
 Definizione 2: il campo razionale la cui esistenza è garantita dal teorema precedente vien detto il campo razionale generato da z in quanto radice del polinomio Pn(x).
 
 Ciò premesso, supponiamo sia dunque u€C un qualunque numero algebrico. Allora, secondo definizione, esiste almeno un polinomio irriducibile Qm(x) a coefficienti interi sui complessi di grado m ≥ 1 opportuno tale che u sia radice dell\'equazione Qm(x) = 0, ovvero Qm(u) = 0. Detto pertanto R(u) il campo razionale generato da u in quanto radice di detto polinomio, diremo che:
 
 Definizione 3: R(u) è un campo razionale di sezionamento per un dato polinomio irriducibile Pn(x) a coefficienti interi sui complessi di grado n ≥ 1 se (e soltanto se) R(u) contiene tutte le radici dell\'equazione Pn(x) = 0, ovvero (secondo un\'espressione ampiamente consolidata) R(u) \"genera\" tutte le soluzioni di una siffatta equazione.
 
 NOTA 3: incidentalmente, faccio notare che, nella definizione precedente, u potrebbe anche coincidere (eventualmente) con una delle radici del polinomio Pn(x).
 
 Teorema 3: comunque considerato un polinomio irriducibile a coefficienti interi di grado n ≥ 1 sul campo complesso, esiste sempre un numero algebrico u€C tale che il campo razionale generato da u sia un campo razionale di sezionamento per il polinomio Pn(x).
 
 NOTA 4: il teorema (2) dimostra che ad ogni radice z di un polinomio algebrico irriducibile sui complessi Pn(x) di grado n ≥ 1 resta sempre associato un campo razionale, che z genera in quanto soluzione dell\'equazione Pn(x) = 0. Ora, tuttavia, nulla esclude a priori (e in effetti, si prova a posteriori che in verità così non è) che, per qualche k != n - 1 e pure per k != 0 (il caso banale!), l\'insieme:
 
 Rk(z) := {w€C: w = r0 + r1*z + ... + rk*zk, con r0,...,rk€Q}
 
 non possa essere anch\'esso un campo razionale. Questa semplice constatazione conduce in modo naturale alla seguente:
 
 Definizione 4: sia Pn(x) un polinomio algebrico irriducibile sui complessi di grado n ≥ 1 e z una qualunque radice fra le n possibili dell\'equazione Pn(x) = 0. Se, per un generico k€N accade (così come nel caso k = n - 1 o anche nel caso elementare in cui k = 0) che l\'insieme:
 
 Rk(z) := {w€C: w = r0 + r1*z + ... + rk*zk, con r0,...,rk€Q}
 
 è chiuso rispetto alle quattro operazioni razionali ordinarie, allora si dice che Rk(z) è un campo razionale di grado k generato da (o anche \"associato\" o \"relativo a\") z in quanto radice del polinomio Pn(x).
 
 Definizione 5: siano u€C un arbitrario numero algebrico ed R(u) il campo razionale ad esso associato. Se R(u) è di grado k e genera tutte le radici di un dato polinomio irriducibile Pn(x) sui complessi a coefficienti interi di grado n ≥ 1, allora diremo che R(u) è un campo razionale di sezionamento di grado k per il polinomio Pn(x).
 
 Nota 5: ciò stabilito, sia Pn(x) un arbitrario polinomio irriducibile sui complessi a coefficienti interi di grado n ≥ 1. Poniamo:
 
 K := {k€N: esiste u€C, u numero algebrico t.c. Rk(u) sia un campo
 razionale di sezionamento del polinomio Pn(x)}
 
 In virtù del teorema (3), K è certamente un insieme non vuoto. Del resto, K è un sottoinsieme di N e dunque ammette (per il teorema del buon ordine) minimo assoluto (peraltro unico!), che di seguito indicheremo nominalmente con g. Per le proprietà generali di cui gode un siffatto elemento, quando ovviamente esso sia definito, com\'è appunto nel caso contestualmente preso in esame: g€K e dunque (secondo costruzione) Rg(u) è un campo razionale di sezionamento del polinomio Pn(x). Ne discende la seguente:
 
 Definizione 6: Rg(u) è detto il campo razionale di sezionamento a grado minimo del polinomio Pn(x).
 
 A questo punto, posta questa lunga serie di considerazioni preliminari, che mi auguro soltanto siano risultate di qualche giovamento ai molti (presumo, vista la particolarità del topic!) che non avessero avuto ben chiaro la questione proposta da Massimino, possiamo procedere alla discussione effettiva del problema... ma questo soltanto dopo che qualcuno (a solo beneficio di tutti gli altri e per amor di completezza) avrà fornito una completa dimostrazione ai teoremi che, qui sopra, volutamente mi sono soltanto limitato ad enunciare! Buon lavoro e, se ve ne fosse bisogno, ponete pure le domande che riterrete opportune: son certo che qualcuno, quand\'anche quel qualcuno non foss\'io, non tarderà a rispondervi! E con questo, per il momento, chiudo! Ciao...
 
 Salvo alias euler_25 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 22-12-2003 23:59 ]

germania2002 · Messaggio da **germania2002** » 01 gen 1970, 01:33

LA CALABRIA?????????
 SEI CALABRESE????
 (allora le teorie de il pallino della matematica hanno avuto una conferma in più).
 
 Di dove, e dove studi ing elettronica (perchè non hai preso informatica - matematica - fisica???).
 Mi pare che gli unici posti dove si posson studiare sono l\'UNI CALabria(cosenza) e l\'UNI di reggio C.
 wow, calabrese il mitico euler_25!!! hai capito, qui in effetti non c\'è un cazzo da fare e allora studiamo, però.....[addsig]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Massimino, siccome qui nessuno si applica con impegno, e visto e considerato che sei stato tu a porre in origine il problema sui campi razionali di spezzamento, inviterei te, o Pazqo (visti alcuni suoi interventi sul topic), ad abbozzare la dimostrazione dei teoremi che ho enunciato nel mio precedente post su questo medesimo tema! Beh, abbozzare si fa per dire... qui come non mai, difatti, pretenderei chiarezza, non altro che per il bene di quei ragazzi (ovvero la massima parte, ne sono ben saputo!) che di certe questioni neppur sospettano la conoscenza, pur verso dimostrandovi un avido interesse (aggiungerei pure... con mio sommo piacere!). Diversamente, non ha senso ch\'io vada avanti nella discussione, poiché ben pochi (obiettivamente) riuscirebbero a comprendere ciò che avrei da dire, tanto più se mi si dimostra che NESSUNO è capace neppure di provare i banali... risultati che ho enunciato nel corso dell\'intervento di cui ho detto e che sono parte essenziale della soluzione che ho confezionato per il tuo simpatico problema, Massimino... un problema (qualcuno potrebbe giustamente obiettare) tutt\'altro che olimpionico, ma pur sempre un problema posto in seno a questo forum, e pertanto degno e meritevole delle nostre attenzioni! Forza, dunque, diamoci sotto!
 
 P.S.: è ovvio (e lo dico al solo fine di non riaccendere antiche polemiche al momento fortunatamente affossate, quantomeno in apparenza...) che il tono di questo mio post è intenzionalmente provocatorio ed ha l\'unico scopo di incentivare chiunque vi fosse interessato ad un maggiore impegno verso i problemi che ho promosso in questa sezione all\'attenzione dei lettori! D\'altro canto, non è richiesto che si diano dimostrazioni impeccabili, poiché tanto più gradirei discutere assieme a voi dei risultati parziali cui eventualmente sarete in grado di pervenire... ma almeno qualche idea vogliamo buttarla giù? O manco questo? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 22-12-2003 23:42 ]