esercizietto

[castelnuovo]

sia f una funzione da [0, + infinito [ - R
<BR>tale che tutte le tangenti al suo grafico passino per (0,0).
<BR>Dimostrare che f è una retta.

[WindowListener]

alura ...
<BR>y = f(x) è la nostra funzione
<BR>f\'(x0) la derivata in x0 e il coeff. angolare della retta tangente
<BR>
<BR>l\'equazione della retta tangente a f(x) in x0 sarà :
<BR>y = f\'(x0)x +q
<BR>imponiamo il passagio per x0, f(x0)otteniamo :
<BR>
<BR>y = f\'(x0)*x + f(x0) - f\'(x0)*x0
<BR>ora se (0,0) è un punto della tangente
<BR>f(x0) = f\'(x0)*x0
<BR>per ogni valore x0 appartenente al dominio della funzione :
<BR>se f(x) = f\'(x)*x --> f\'(x) = f\'\'(x)*x + f\'(x) quindi
<BR>f\'\'(x)*x = 0
<BR>quindi f\'\'(x) = 0 per ogni x
<BR>f\'(x) è una costante -- > f(x) è una retta
<BR>lo so nn è elegante ma almeno spero sia giusto
<BR>
<BR>ciao
<BR>
<BR>
<BR>[addsig]

[Antimateria]

Una volta ottenuto f(x)=x*f\'(x), non puoi derivare, perchè non è detto che f\'\'(x) sia definita. Tutto ciò che sai è che f(x) è derivabile, e quindi continua. Dovresti dimostrare che anche la derivata è continua...

[Azarus]

l\'obiezione francamente non mi torna antimateria...sara che ho letto solo una parte del capitolo sulle derivate...

[WindowListener]

infatti perchè se f\'\'(x) nn fosse definita nemmeno f\'(x) lo sarebbe secondo l\'ugualianza f(x) = f\'(x)*x e quindi nn sarebbe derivabile cosa che invece sappiamo per certo[addsig]

[Antimateria]

Sappiamo che f(x) è derivabile, ma non sappiamo se la sua derivata sia derivabile. Il fatto che f\'(x) esista, non vuol dire che esista anche f\'\'(x)!!
<BR>La soluzione dovrebbe essere la seguente:
<BR>f\'(x)/f(x)=1/x da cui, integrando, si ottiene ln|f(x)|=ln|(kx)|, e quindi f(x)=kx.

[Azarus]

ma io non ho ancora letto il capitolo sugli integrali...